Zadanie: Sprawdzić czy funkcja jest mierzalna w sensie Lebesque`a:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2, ~~x<-1 \\ \frac{1}{2},~~ \left|x \right| \le 1 \\ -\ln x ,~~ x>1 \end{cases}}\)
Ja to rozwiązałam tak:
Sprawdzamy czy
\(\displaystyle{ f ^{-1}((a,+\infty]) =\{x \in R: f(x)>a\} \in L_{1}
\\1. ~dla~~ a \ge 1 ~f ^{-1}((a,+\infty])=\emptyset
\\2. dla~~a \in \left\langle \frac{1}{2},2\right) ~f ^{-1}((a,+\infty]) =\left(-\infty,1\right\rangle
\\3. dla~~ a\in\left\langle 0, \frac{1}{2} \right)~f ^{-1}((a,+\infty]) =\left(-\infty,1\right\rangle
\\4. dla~a<0~~ f ^{-1}((a,+\infty]) = \left( 1,+\infty \right)}\)
Czyli jest mierzalna w sensie Lebesque`a.
Bardzo proszę o sprawdzenie, jutro mam kolokwium z tego...