Matematyka.pl

W podręczniku Mirosława Filipczaka "Teoria miary i całki" jest dowód następującego twierdzenia:
Każda funkcja \(\displaystyle{ f:E \rightarrow R\cup \{+\infty,-\infty\}}\) nieujemna i \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzalna w \(\displaystyle{ E}\) jest granicą (w zbiorze \(\displaystyle{ E}\)) niemalejącego ciągu funkcji prostych i \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzalnych w \(\displaystyle{ E}\).

W tym celu kładziemy: \(\displaystyle{ E_{n}=\{x \in E: f(x)\geqslant n\}}\),
\(\displaystyle{ E_{nk}=\{x\in E: \frac{k}{2^{n}}\leqslant f(x)<\frac{k+1}{2^{n}}\}}\), dla \(\displaystyle{ k=0,1,...,n\cdot 2^{n}-1}\),
\(\displaystyle{ f_{n}(x)= \frac{k}{2^{n}}}\), dla \(\displaystyle{ \frac{k}{2^{n}}\leqslant f(x)<\frac{k+1}{2^{n}}}\), dla dla \(\displaystyle{ k=0,1,...,n\cdot 2^{n}-1}\),
\(\displaystyle{ f_{n}(x)=n}\), dla \(\displaystyle{ f(x)\geqslant n}\), \(\displaystyle{ n=1,2,...}\).
W następnym kroku pokazuje się, że \(\displaystyle{ f_{n}=\sum_{k=1}^{n\cdot 2^{n}-1}\frac{k}{2^{n}}\chi_{E_{nk}}+n\cdot \chi_{E_{n}}}\) w \(\displaystyle{ E}\) jest prosta i \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzalna w \(\displaystyle{ E}\).
Przy czym \(\displaystyle{ \chi_{E}}\) jest funkcją charakterystyczną zbioru \(\displaystyle{ E}\).
Zbiory \(\displaystyle{ E_{n}, E_{n0},E_{n1},...}\) są rozłączne i \(\displaystyle{ \mu}\)-mierzalne. I też jak sądzę sumują się do \(\displaystyle{ E}\).
Zastanawiam się co ze zbiorem \(\displaystyle{ E_{n0}}\). W dalszej części dowodu pokazuje się na przykład, że \(\displaystyle{ f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in E}\) i \(\displaystyle{ n=1,2,...}\). ale jeśli \(\displaystyle{ x\in E_{n0}}\), to dla tych argumentów funkcja nie jest zdefiniowana. Jest błąd, prawda? Powinno być sumowanie od \(\displaystyle{ k=0}\).

Widać, że sumowanie od \(\displaystyle{ k=0}\) dorzuca nam jedynie zero, ale chyba jednak byłoby bardziej elegancko, gdyby zapisać tą sumę od \(\displaystyle{ k=0}\).

Nie ma błędu - można sumować od zera albo od jedynki, to bez znaczenia. Funkcja jest zdefiniowana na \(\displaystyle{ E_{n0}}\), bo dziedzinami wszystkich rozważanych funkcji charakterystycznych jest całe \(\displaystyle{ E}\) - tyle tylko, że wszystkie są zerowe na \(\displaystyle{ E_{n0}}\).

Na przyszłość radzę przemyśleć stosowane oznaczenia. Czym są `E_{57}` albo `E_{454326}`?