Sigma-ciała i zbiory borelowskie. Miary, miary zewnętrze i miara Lebesgue'a. Funkcje mierzalne. Całka Lebesgue'a. Inne zagadnienia analizy rzeczywistej.
Euler41 pisze:Ale niestety nie widzę dlaczego to są wszystkie zbiory otwarte płaszczyzny. Mamy jakieś dwie kule, obie możemy zapisać jako sumę przeliczalnie wielu prostokątów, ale jak te kule mają się do płaszczyzny?
A co ma płaszczyzna do tego?
Nie pozostaje Ci nic innego niż uwierzyć w twierdzenie mówiące, że każdy zbiór otwarty na płaszczyźnie jest przeliczalną sumą kół otwartych, co już napisał Ci Premislav:
Premislav pisze:A to, że w \(\displaystyle{ RR^2}\) z metryką euklidesową można zapisać dowolny zbiór otwarty jako sumę przeliczalnie wielu kul otwartych, to w prosty sposób wynika z gęstości \(\displaystyle{ QQ^2}\) w \(\displaystyle{ RR^2}\) (możesz wobec tego wziąć dowolne \(\displaystyle{ x in RR^2}\) należące do zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) jako element zawartej w \(\displaystyle{ U}\) kuli o środku \(\displaystyle{ (q_1, q_2)}\), gdzie \(\displaystyle{ q_1, q_2in QQ}\)), który to fakt łatwo wynika z gęstości \(\displaystyle{ QQ}\) w \(\displaystyle{ RR}\). A ta ostatnia gęstość była udowadniania np. tutaj: 344807.htm
A jak nie chcesz wierzyć na słowo, to musisz poznać elementy elementów topologii, żeby zrozumieć, co to jest zbiór otwarty na płaszczyźnie.
Wierzę, ale nie wiem w jaki sposób to dowodzi, że \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało generowane przez prostokąty otwarte \(\displaystyle{ (a,b) \times (c,d), a<b, c<d}\) zawiera wszystkie zbiory otwarte płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\).
No to Ci właśnie Premislav pokazał i to nawet dość dokładnie: każdy zbiór otwarty jest przeliczalną sumą kół otwartych, a każde koło otwarte jest przeliczalną sumą prostokątów z Twojej rodziny generującej, ergo każdy zbiór otwarty jest przeliczalną sumą prostokątów z Twojej rodziny generującej (bo przeliczalna suma przeliczalnych sum jest przeliczalną sumą). A ponieważ pierwszy krok w generowaniu \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała przez daną rodzinę zbiorów polega na wzięciu wszystkich przeliczalnych sum zbiorów z tej rodziny, więc od razu dostajemy, że wszystkie zbiory otwarte są w interesującym Cię \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciele.
Jan Kraszewski pisze:A ponieważ pierwszy krok w generowaniu \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała przez daną rodzinę zbiorów polega na wzięciu wszystkich przeliczalnych sum zbiorów z tej rodziny
Kolejnym krokiem jest wzięcie wszystkich przeliczalnych różnic zbiorów tej rodziny?
Euler41 pisze:Kolejnym krokiem jest wzięcie wszystkich przeliczalnych różnic zbiorów tej rodziny?
No nie - nie ma czegoś takiego jak "przeliczalna różnica". Kolejny krok to wzięcie wszystkich dopełnień, ale nie zbiorów z rodziny wyjściowej, tylko zbiorów z rodziny wygenerowanej na poprzednim kroku. Potem wykonujesz te operacje na zmianę, zawsze w odniesieniu do rodziny z poprzedniego kroku (to oczywiście pewne uproszczenie, bo są jeszcze kroki graniczne - w tym wypadku konstrukcja ma \(\displaystyle{ \omega_1}\) kroków, a jako wynik dostajesz \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało zbiorów borelowskich na płaszczyźnie. Ale dla rozwiązania zadania wyjściowego to nie ma większego znaczenia.).
