Dowieść, że funkcja jest ciągła

Drzewo18 · Post autor: **Drzewo18** » 20 sty 2014, o 19:26

Załóżmy, że \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\) jest mierzalna w sensie Lebesgue'a. Dowieść, że \(\displaystyle{ \forall \varepsilon>0: \exists E\in\alpha_1 \ (m(E)<\varepsilon \wedge \ f|_{\mathbb{R}\setminus E} \ \text{jest ciągła})}\).

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 21 sty 2014, o 00:08

Jest to twierdzenie Łuzina. Znajdziesz je na stronie 109 .

matmatmm · Post autor: **matmatmm** » 6 kwie 2018, o 21:02

Czy w tym twierdzeniu powinno być założenie, że miara zbioru \(\displaystyle{ E}\) jest skończona? Chodzi mi o twierdzenie w wersji dla funkcji \(\displaystyle{ f:E\rightarrow\overline{\RR}}\), gdzie \(\displaystyle{ E\subset\RR^n}\) jest mierzalny w sensie Lebesgue'a.

Na

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_%C5%81uzina

przykładowo w wersji dla przestrzeni normalnych takie założenie jest. W innych źródłach również takie założenie się pojawia. W rozwiązaniu tego

Kod: Zaznacz cały

https://math.stackexchange.com/questions/143105/measurable-functions-as-a-limit-of-continuous-functions

autor korzysta z twierdzenia Łuzina i rozważa osobno przypadek zbioru \(\displaystyle{ A}\) o skończonej mierze.

Z drugiej strony w dowodzie z linka Spektralnego nie zlokalizowałem miejsca, w którym takie założenie byłoby użyte. Będę wdzięczny jeśli ktoś rozjaśni.

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 13 maja 2018, o 14:15

Rzeczywiście, by to była prawda należy dodatkowo założyć, że nośnik funkcji \(\displaystyle{ f}\) ma skończoną miarę.