Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{R} f d\mu}\) gdzie \(\displaystyle{ \mu=\delta_{-1}+\delta_3}\)
, a \(\displaystyle{ \delta{x_0}}\) oznacz miarę Diraca skupioną w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\)
całka, miara Diraca
-
szw1710
całka, miara Diraca
Odp. \(\displaystyle{ f(-1)+f(3)}\). Zastanów się dlaczego. Najpierw proponuję dojść do tego, że \(\displaystyle{ \int_{\RR} f\dd\delta_{x_0}=f(x_0)}\). Potem wiemy, że \(\displaystyle{ \int_{\RR} f\dd(\mu_1+\mu_2)=\int_{\RR} f\dd\mu_1+\int_{\RR} f\dd\mu_2}\). I sprawa załatwiona.
-
pelas_91
- Użytkownik
- Posty: 838
- Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 71 razy
całka, miara Diraca
czy i tu mogę prosić o pomoc?szw1710 pisze:Najpierw proponuję dojść do tego, że \(\displaystyle{ \int_{\RR} f\dd\delta_{x_0}=f(x_0)}\).
-
szw1710
całka, miara Diraca
Np. tak: wprowadzam funkcję \(\displaystyle{ g}\) daną wzorem \(\displaystyle{ g(x)=f(x)}\) dla \(\displaystyle{ x=x_0}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\ne x_0}\). Funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) są równe \(\displaystyle{ \delta_{x_0}}\) prawie wszędzie, więc mają równe całki. Ale
\(\displaystyle{ \int_{\RR} f\dd\delta_{x_0}=\int_{\RR} g\dd\delta_{x_0}=\int_{\{x_0\}} g\dd\delta_{x_0}=\int_{\{x_0\}} g(x_0)\dd\delta_{x_0}=\\
=g(x_0)\int_{\{x_0\}}\dd\delta_{x_0}=g(x_0)\delta_{x_0}(\{x_0\})=g(x_0)\cdot 1=g(x_0)=f(x_0)}\).
\(\displaystyle{ \int_{\RR} f\dd\delta_{x_0}=\int_{\RR} g\dd\delta_{x_0}=\int_{\{x_0\}} g\dd\delta_{x_0}=\int_{\{x_0\}} g(x_0)\dd\delta_{x_0}=\\
=g(x_0)\int_{\{x_0\}}\dd\delta_{x_0}=g(x_0)\delta_{x_0}(\{x_0\})=g(x_0)\cdot 1=g(x_0)=f(x_0)}\).