Znaleźć wszystkie trójki

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

Znaleźć wszystkie takie trójki liczb całkowitych \(\displaystyle{ x, y, z}\), że \(\displaystyle{ x + y + z = xyz}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc? Tutaj metodą prób i błędów zauważyłem, że rozwiązaniem jest jak jedna z liczb jest zerem, a pozostałe dwie są dowolne, ale przeciwne względem siebie, ale jak dojść do rozwiązania?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22112
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: a4karo »

Wystarczy zauważyć, że gdy wartość bezwzględna wszystkich liczb jest większa od jedynki to równość nie może zachodzić. Pozostaje zatem niewiele przypadków do sprawdzenia
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

No ok, to co mówisz też chyba trzeba jakoś uzasadnić, ale ok. Dobra to wniosek z tego taki, że jedna z liczb musi być równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli jest zerem to jest łatwo bo z tego wynika, że pozostałe dwie liczby muszą być wzajemnie przeciwne. A co jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\)? Wtedy dostajemy \(\displaystyle{ 1+y+z=yz}\) czyli \(\displaystyle{ (y-1)(z-1)=2}\) i rozwiązaniami tego są \(\displaystyle{ y=2,z=3}\) lub \(\displaystyle{ y=-2,z=-3}\) lub \(\displaystyle{ y=0,z=-1}\) lub \(\displaystyle{ y=-1,z=0}\). W pozostałych wypadkach jedną z liczb jest zero, a pozostałe dwie są przeciwne do siebie. Czyli mamy rozwiązania \(\displaystyle{ x=0,y=n,z=-n}\) i permutacje wszystkie tego, oraz \(\displaystyle{ x=1,y=2,z=3}\) lub \(\displaystyle{ x=-1,y=-2,z=-3}\) i wszystkiego permutacje tego układu.

Dobrze tak jest?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22112
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: a4karo »

max123321 pisze: 18 lis 2023, o 22:47 No ok, to co mówisz też chyba trzeba jakoś uzasadnić, ale ok. Dobra to wniosek z tego taki, że jedna z liczb musi być równa \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ -1}\). Jeśli jest zerem to jest łatwo bo z tego wynika, że pozostałe dwie liczby muszą być wzajemnie przeciwne. A co jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\)? Wtedy dostajemy \(\displaystyle{ 1+y+z=yz}\) czyli \(\displaystyle{ (y-1)(z-1)=2}\) i rozwiązaniami tego są \(\displaystyle{ y=2,z=3}\) lub \(\displaystyle{ y=-2,z=-3}\)
Czyżby? Nie działaj automatycznie
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

A co, coś źle mówię?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22112
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: a4karo »

Tak, zachowałeś się jak małpa (bez urazy): jeżeli w pierwszym równaniu zamienić wszystkie liczby na przeciwne, to nic się nie zmieni. Ale równanie, w którym USTALIŁEŚ `x=1` już tej własności nie ma
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11059
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3112 razy
Pomógł: 739 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ciekawe uogólnienia
zródlo:
https://www.researchgate.net/publication/324555444_When_Does_a_Sum_of_Positive_Integers_Equal_Their_Product
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

Nie no jak ustalę \(\displaystyle{ x=1}\), to równanie dalej ma tą własność, ale szukam rozwiązania innego niż \(\displaystyle{ 1,0,-1}\). Dlatego trochę nie rozumiem o co Ci chodzi. Bo jak Ty to chcesz zapisać? Trzeba chyba rozpatrzyć przypadki \(\displaystyle{ x=0}\), \(\displaystyle{ x=1}\), \(\displaystyle{ x=-1}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22112
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: a4karo »

Rozwiązaniem równania `1+y+z=yz` jest `(2,3), (3,2)` się nie jest `(-2,-3)`
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

A dobra o to Ci chodzi. No fakt, moje niedopatrzenie. Jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ 1}\) to rozwiązaniami są wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ (1,2,3)}\). Analogicznie można wykazać, że jak jedna z liczb jest równa \(\displaystyle{ -1}\) to rozwiązaniami są wszystkie permutacje zbioru \(\displaystyle{ (-1,-2,-3)}\). Dokładając do tego rozwiązania postaci \(\displaystyle{ (0,z,-z), z \in \ZZ}\) otrzymujemy finalnie, że rozwiązaniami są wszystkie permutacje zbiorów \(\displaystyle{ (1,2,3),(-1,-2,-3),(0,z,-z),z \in \ZZ}\).


To jak teraz jest dobrze?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22112
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: a4karo »

Nie. Równanie `1+y+z=yz` ma jeszcze jedno rozwiązanie
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

No ok to równanie, które piszesz ma rozwiązania \(\displaystyle{ (2,3),(3,2),(0,-1),(-1,0)}\) no, ale to nie zmienia faktu, że ostatecznie rozwiązania są takie jak podałem.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22112
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3733 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: a4karo »

Przepraszam, coś mi się totalnie pozajączkowało. Oczywiście, masz rację
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3379
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 967 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: max123321 »

No ok, a jak uzasadnić to pierwsze spostrzeżenie, że jeśli wartość bezwzględna wszystkich liczb jest większa od jedynki to równość nie może zachodzić?
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11059
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3112 razy
Pomógł: 739 razy

Re: Znaleźć wszystkie trójki

Post autor: mol_ksiazkowy »

\(\displaystyle{ x= \frac{y+z}{yz-1} }\) itd
ODPOWIEDZ