Matematyka.pl

Dobra to próbuję tak:
Zakładamy na początku, że \(\displaystyle{ x \ge 2,y \ge 2,z \ge 2}\). Zatem musi być \(\displaystyle{ \frac{y+z}{yz-1} \ge 2 }\). Skoro tak jest to wówczas \(\displaystyle{ 0 \ge 2yz-y-z-2=(y-1)(z-1)+yz-3 \ge 1+yz-3=yz-2 \ge 2}\) bo \(\displaystyle{ yz \ge 4}\) i mamy sprzeczność. Dobrze?

A nie prościej założyć że moduły są większe lub równe dwa i oszacować z góry sumę a iloczyn z dołu?

Nie wiem jak Ty to chcesz szacować. Możesz to zapisać?

OK, trochę przesadziłęm z tym szacowaniem, ale można tak: Jeżeli `|x|\ge 2` itd, to `|xy|\ge |x|+|y|` z równością wtedy i tylko wtedy, gdy `|x|=|y|=2`. Argument za tym jest taki, że jeżeli `|y|\ge |x|`, to `|xy|\ge 2|y|\ge |x|+|y|`
Z powyższego zastosowanego dwakroć mamy `|xyz|\ge |x|+|yz|\ge |x|+|y|+|z|\ge |x+y+z|` i widać, że równości tu być nie może

Dobra no w zasadzie kupuję to co napisałeś poza samą końcówką. Jak uzasadniasz, że \(\displaystyle{ |xyz| > |x+y+z|}\)? Może wystarczy napisać, że z tego co wcześniej napisałeś wynika, że równość \(\displaystyle{ |xyz|=|x|+|yz|}\) będzie zachodzić wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |x|=|yz|=2}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ |y+z|=2}\), a tak być nie może. No, ale może można to jakoś lepiej uzasadnić?

Pierwsza nierównośc może być równością tylko wtedy gdy `|yz|=2`, a druga gdy `|yz|=4`. To chyba wystarczy