Zbiór i kongruencja
-
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 26 sty 2023, o 18:37
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 15
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 3 razy
Re: Zbiór i kongruencja
Pokazałem nieskończony ciąg, w którym każdy z jego wyrazów spełnia tezę więc jeśli założysz że każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ k}\) należy do \(\displaystyle{ M}\), to masz to udowodnione i jeszcze podany wzór. Nie wiem w czym dostrzegasz błąd. Ja rozwiązuję zadanie, które zostało zapisane, a jeśli chodzi o zbiór \(\displaystyle{ n}\), to z MTF masz \(\displaystyle{ k=3\,(\bmod n)}\) i do \(\displaystyle{ M}\) należą wszystkie pierwsze \(\displaystyle{ n}\) (poza \(\displaystyle{ n=3}\)), a jak wiemy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. c.k.d.
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, o 02:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zbiór i kongruencja
Wypisz mi w takim układzie 15 pierwszych liczb z tego zbioru M. I co to znaczy liczba pierwsza w pierścieniu modulo n bo takiej definicji nie znam a chętnie się nauczę...
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Zbiór i kongruencja
Wprost z treści zadania:
\(\displaystyle{ M = \{ k \in \NN : (\exists n \in \NN)(\exists m \in \ZZ) \, k = 3^n + mn \} = \{ 3^n + mn : n \in \NN, m \in \ZZ \}}\).
W szczególności zapis
\(\displaystyle{ 3^n \equiv k \pmod{n}}\)
nie oznacza, że \(\displaystyle{ k}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 3^n}\) przez \(\displaystyle{ n}\), tylko to, że różnica \(\displaystyle{ 3^n - k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Może więc, arku, zamiast upierać się przy swojej wersji, przeczytaj uważnie treść zadania.
Natomiast jak zauważyli Samouk1, Brombal, Mateusz5324, kolejno:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n : n \in \NN \} \subseteq M}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n + n : n \in \NN \} \subseteq M}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n + zn : z \in \NN \} \subseteq M}\) (dla pełności argumentu należało wskazać konkretne \(\displaystyle{ n}\), na przykład \(\displaystyle{ n=2}\)).
Każde z tych zawierań jest oczywiste, zatem zadanie zostało już rozwiązane w tym wątku na trzy różne sposoby.
\(\displaystyle{ M = \{ k \in \NN : (\exists n \in \NN)(\exists m \in \ZZ) \, k = 3^n + mn \} = \{ 3^n + mn : n \in \NN, m \in \ZZ \}}\).
W szczególności zapis
\(\displaystyle{ 3^n \equiv k \pmod{n}}\)
nie oznacza, że \(\displaystyle{ k}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 3^n}\) przez \(\displaystyle{ n}\), tylko to, że różnica \(\displaystyle{ 3^n - k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Może więc, arku, zamiast upierać się przy swojej wersji, przeczytaj uważnie treść zadania.
Natomiast jak zauważyli Samouk1, Brombal, Mateusz5324, kolejno:
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n : n \in \NN \} \subseteq M}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n + n : n \in \NN \} \subseteq M}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n + zn : z \in \NN \} \subseteq M}\) (dla pełności argumentu należało wskazać konkretne \(\displaystyle{ n}\), na przykład \(\displaystyle{ n=2}\)).
Każde z tych zawierań jest oczywiste, zatem zadanie zostało już rozwiązane w tym wątku na trzy różne sposoby.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zbiór i kongruencja
Wy traktujecie zbiór M jako podzbiór zbioru liczb naturalnych niestety ja natomiast potraktowałem to jako zbiór reszt i wskazałem, że jest nieskończony...
wskazując nieskończenie wiele takich n, że:
\(\displaystyle{ n|3^n+1}\)
Dodano po 11 godzinach 53 minutach 6 sekundach:
W takim układzie jak piszesz zadanie niewarte uwagi
wskazując nieskończenie wiele takich n, że:
\(\displaystyle{ n|3^n+1}\)
Dodano po 11 godzinach 53 minutach 6 sekundach:
W takim układzie jak piszesz zadanie niewarte uwagi
Ostatnio zmieniony 19 kwie 2023, o 22:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: niewarte.
Powód: Poprawa wiadomości: niewarte.
-
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 26 sty 2023, o 18:37
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 15
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 3 razy
Re: Zbiór i kongruencja
Dla każdej liczby pierwszej n różnej od 3 znajdziesz rozwiązanie k=3.
Nawet dla n=3; k=3 będzie rozwiązaniem, ale wyrzucając ją z M można udowodnić to w jednej linijce i nie sprawdzać tego szczególnego przypadku.
Dodano po 17 minutach 21 sekundach:
Ja przy rozwiązaniu twojej interpretacji tego zadanie wykazuję, że:
\(\displaystyle{ n|3^n-3}\)
Dla wszystkich liczb pierwszych n poza \(\displaystyle{ n=3}\).
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) z oczywistych względów też działa, ale by zaoszczędzić pisanie prościej jest tak (MTF działa dla liczb nie będących wielokrotnościami modułu).
Dodano po 9 minutach 37 sekundach:
Według mnie dużo ciekawszym zadaniem byłoby pokazanie, że dla każdego k istnieje nieskończenie wiele n.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Zbiór i kongruencja
O widzisz i to już mi się podoba coś nowego, że liczby pierwsze spełniają podzielność:
\(\displaystyle{ n|3^n-n}\)
Wynika to zresztą z małego Fermata...
\(\displaystyle{ n|3^n-n}\)
Wynika to zresztą z małego Fermata...