Matematyka.pl

Pokazałem nieskończony ciąg, w którym każdy z jego wyrazów spełnia tezę więc jeśli założysz że każdy wyraz ciągu \(\displaystyle{ k}\) należy do \(\displaystyle{ M}\), to masz to udowodnione i jeszcze podany wzór. Nie wiem w czym dostrzegasz błąd. Ja rozwiązuję zadanie, które zostało zapisane, a jeśli chodzi o zbiór \(\displaystyle{ n}\), to z MTF masz \(\displaystyle{ k=3\,(\bmod n)}\) i do \(\displaystyle{ M}\) należą wszystkie pierwsze \(\displaystyle{ n}\) (poza \(\displaystyle{ n=3}\)), a jak wiemy liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. c.k.d.

Wypisz mi w takim układzie 15 pierwszych liczb z tego zbioru M. I co to znaczy liczba pierwsza w pierścieniu modulo n bo takiej definicji nie znam a chętnie się nauczę...

Wprost z treści zadania:

\(\displaystyle{ M = \{ k \in \NN : (\exists n \in \NN)(\exists m \in \ZZ) \, k = 3^n + mn \} = \{ 3^n + mn : n \in \NN, m \in \ZZ \}}\).

W szczególności zapis

\(\displaystyle{ 3^n \equiv k \pmod{n}}\)

nie oznacza, że \(\displaystyle{ k}\) jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 3^n}\) przez \(\displaystyle{ n}\), tylko to, że różnica \(\displaystyle{ 3^n - k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\). Może więc, arku, zamiast upierać się przy swojej wersji, przeczytaj uważnie treść zadania.


Natomiast jak zauważyli Samouk1, Brombal, Mateusz5324, kolejno:

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n : n \in \NN \} \subseteq M}\),

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n + n : n \in \NN \} \subseteq M}\),

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ \{ 3^n + zn : z \in \NN \} \subseteq M}\) (dla pełności argumentu należało wskazać konkretne \(\displaystyle{ n}\), na przykład \(\displaystyle{ n=2}\)).

Każde z tych zawierań jest oczywiste, zatem zadanie zostało już rozwiązane w tym wątku na trzy różne sposoby.

Wy traktujecie zbiór M jako podzbiór zbioru liczb naturalnych niestety ja natomiast potraktowałem to jako zbiór reszt i wskazałem, że jest nieskończony...
wskazując nieskończenie wiele takich n, że:

\(\displaystyle{ n|3^n+1}\)

Dodano po 11 godzinach 53 minutach 6 sekundach:
W takim układzie jak piszesz zadanie niewarte uwagi

arek1357 pisze: ↑19 kwie 2023, o 09:41 Wypisz mi w takim układzie 15 pierwszych liczb z tego zbioru M. I co to znaczy liczba pierwsza w pierścieniu modulo n bo takiej definicji nie znam a chętnie się nauczę...

Dla każdej liczby pierwszej n różnej od 3 znajdziesz rozwiązanie k=3.

Nawet dla n=3; k=3 będzie rozwiązaniem, ale wyrzucając ją z M można udowodnić to w jednej linijce i nie sprawdzać tego szczególnego przypadku.

Dodano po 17 minutach 21 sekundach:

arek1357 pisze: ↑19 kwie 2023, o 21:51 wskazując nieskończenie wiele takich n, że:

\(\displaystyle{ n|3^n+1}\)

Ja przy rozwiązaniu twojej interpretacji tego zadanie wykazuję, że:

\(\displaystyle{ n|3^n-3}\)

Dla wszystkich liczb pierwszych n poza \(\displaystyle{ n=3}\).
Dla \(\displaystyle{ n=3}\) z oczywistych względów też działa, ale by zaoszczędzić pisanie prościej jest tak (MTF działa dla liczb nie będących wielokrotnościami modułu).

Dodano po 9 minutach 37 sekundach:
Według mnie dużo ciekawszym zadaniem byłoby pokazanie, że dla każdego k istnieje nieskończenie wiele n.

O widzisz i to już mi się podoba coś nowego, że liczby pierwsze spełniają podzielność:

\(\displaystyle{ n|3^n-n}\)

Wynika to zresztą z małego Fermata...