Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ a^b b^a=1 }\) ?

Równanie sprowadza się do równania \(\displaystyle{ \frac{\log a}{a}=-\frac{\log b}{b}}\).
Funkcja \(\displaystyle{ \frac{\log x}{x}}\) ściśle rośnie od `-\infty` do `1/e` dla `x<e` a potem maleje do zera.
Stąd wniosek, że równanie ma jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ (a,b)=(\exp(-W(1/e)),e)}\) i \(\displaystyle{ (a,b)=(1,1)}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ \exp(-W(1/e))<a<1}\) dwa rozwiązania.

(`W` jest funkcją Lamberta)