Matematyka.pl

Na tablicy wypisano liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\). W każdym kolejnym kroku liczbę z tablicy \(\displaystyle{ n}\) można zastąpić jedną z liczb: \(\displaystyle{ 2n+1}\) bądź \(\displaystyle{ \frac{n}{n+2}}\). Udowodnić, że jeśli na tablicy była liczba \(\displaystyle{ 2024}\), to była ona tam od samego początku.

Załóżmy, że 2024 nie była tam od początku tylko powstała z poprzedniej innej liczby n, wówczas są 2 możliwości:
\(\displaystyle{
2024 = 2n+1\\
2023 = 2n\\
n = 1011.5 \notin \NN
}\)

lub

\(\displaystyle{
2024 = \frac{n}{n+2}\\
2024(n+2) = n\\
2024n + 4048 = n\\
2023n = -4048\\
n = - \frac{4048}{2023} \notin \NN
}\)

czyli nie ma takiej liczby naturalnej, z której po jednym z tych przekształceń wyjdzie 2024

Mogła być wygenerowane niekoniecznie z liczby całkowitej...

Ok ale na pewno możemy powiedzieć, że na żadnym etapie nie będzie liczb ujemnych, bo funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{x}{x+2}}\) ma miejsce zerowe w zerze i asymptotę pionową w x = -2 i poziomą w y=1 więc uzyskuje wartości ujemne tylko dla ujemnych argumentów z przedziału \(\displaystyle{ (-2;0)}\) więc nie mamy jak trafić w ten przedział. Stąd dalej wniosek, że przekształcenie do \(\displaystyle{ \frac{n}{n+2}}\) zawsze zwróci ułamek mniejszy od 1.
I teraz wiemy, że 2024 musiałaby powstać z 1011.5 (bo z drugiej opcji z ujemną nie może) to znaczy , że na jakimś etapie musimy wejść w to przekształcenie, które daje nam ułamki, nie możemy iść ciągle po przekształceniu 2n+1. A skoro tak, to na pewnym etapie mamy na tablicy liczbę \(\displaystyle{ 0 < k < 1}\) i jedyny sposób przejścia od niej do 2024 to tak dobrać k, żeby już tylko iść przez 2n+1 (bo każde przejście przez drugie przekształcenie cofa nas do tego punktu). możemy więc uznać, że
\(\displaystyle{
0 < k_1 < 1\\
2(0) + 1 < 2k_1+1 < 2(1) + 1\\
1 < 2k_1+1 < 3\\
1 < k_2 < 3\\
2(1) + 1 < 2k_2 + 1 < 2(3) + 1\\
3 < 2k_2 + 1< 7\\
3 < k_3 < 7\\
2(3) + 1 < 2k_3 +1 < 2(7) + 1\\
7 < 2k_3 + 1 < 15\\
7 < k_4 < 15\\
2^{n-1} -1 < k_n < 2^n\\
2^9 < 1011.5 < 2^{10}
}\)

czyli 1011.5 musielibyśmy uzyskać po 10 krokach
Stosując przejście do 2n+1 po p powtórzeniach mamy \(\displaystyle{ 2^p n + 2^{p-1}}\)
czyli po 10 powtórzeniach
\(\displaystyle{ 2^{10} k + 2^9 = 1011.5\\
2^{10}k = 1011.5 - 512\\
1024k = 499.5\\
k = \frac{1024}{499.5} = 2 + \frac{50}{999}
}\)
więc to jest ten ułamek do którego musimy dojść tym drugim przekształceniem, ale ponieważ jest większy od 1, to z poziomej asymptoty opisanej wyżej funkcji wynika, że ta wartość musiałaby pochodzić od liczby ujemnej

tak myślę, na nic lepszego nie wpadłem

Gouranga pisze: ↑4 lut 2024, o 14:05
\(\displaystyle{ 2^{10} k + 2^9 = 1011.5\\
2^{10}k = 1011.5 - 512\\
1024k = 499.5\\
\red{k = \frac{1024}{499.5}} = 2 + \frac{50}{999}
}\)

Posiadanie asymptoty nie jest żadnuym argumentem za dodatnioscia funkcji. Poza tym całe rozumowanie jest pewnie pierwszym krokiem do dalszych rozważań, które byś pewnie przeprowadził, gdyby nie kardynalna pomyłka zaznaczona na czerwono