Załóżmy, że liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c}\) są względnie pierwsze, tzn. jedyną liczbą, która dzieli jednocześnie liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest liczba \(\displaystyle{ 1}\). Dowieść, że równanie \(\displaystyle{ ax+by=c}\) ma wtedy i tylko wtedy rozwiązanie w liczbach całkowitych, gdy liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Załóżmy, że liczby całkowite są względnie pierwsze
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1411
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 67 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Załóżmy, że liczby całkowite są względnie pierwsze
Jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) nie są względnie pierwsze, tzn. mają wspólny dzielnik \(\displaystyle{ k \neq 1}\), to z definicji podzielności:
\(\displaystyle{ a= k \cdot n _{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ n_a \in \ZZ}\), i
\(\displaystyle{ b= k \cdot m_b}\), gdzie \(\displaystyle{ m_b \in \ZZ}\).
Przypuśćmy, że para liczb całkowitych \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) jest rozwiązaniem tego równania.
Wtedy:
\(\displaystyle{ a \cdot x+b \cdot y=c, }\)
a zatem:
\(\displaystyle{ k \cdot n_a \cdot x+k \cdot m_b \cdot y= c,}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \cdot \left( \underbrace{n_a \cdot x}_{ \in \ZZ}+ \underbrace{m_b \cdot y}_{ \in \ZZ}\right) =c,}\)
jak zaznaczyłem, ponieważ iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, więc istotnie, zaznaczone iloczyny są liczbami całkowitymi, a więc również ich suma jest liczbą całkowitą, a z tego wynika, że \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ c}\).
Ponadto \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ a,}\) jak i \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\), a zatem \(\displaystyle{ k}\) jest wspólnym dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\) różnym od jedynki- sprzeczność z założeniami zadania. Wobec czego rozważane równanie nie ma rozwiązań.
W drugą stronę, to pomogę sobie twierdzeniem (pomyślałem, że szkoda żebym dłubał równania, jak to jest już zrobione ), i znalazłem, takie podobne twierdzenie (nie chcę mi się link otworzyć, więc muszę zacytować):
Jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami względnie pierwszymi, to ich największy wspólny dzielnik jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a wtedy dzieli on liczbę \(\displaystyle{ c}\), tzn. \(\displaystyle{ NWD \left( a,b\right)=1|c}\) , a więc, w myśl podanego twierdzenia, nasze równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych.\(\displaystyle{ \square}\)
\(\displaystyle{ a= k \cdot n _{a}}\), gdzie \(\displaystyle{ n_a \in \ZZ}\), i
\(\displaystyle{ b= k \cdot m_b}\), gdzie \(\displaystyle{ m_b \in \ZZ}\).
Przypuśćmy, że para liczb całkowitych \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) jest rozwiązaniem tego równania.
Wtedy:
\(\displaystyle{ a \cdot x+b \cdot y=c, }\)
a zatem:
\(\displaystyle{ k \cdot n_a \cdot x+k \cdot m_b \cdot y= c,}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k \cdot \left( \underbrace{n_a \cdot x}_{ \in \ZZ}+ \underbrace{m_b \cdot y}_{ \in \ZZ}\right) =c,}\)
jak zaznaczyłem, ponieważ iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, więc istotnie, zaznaczone iloczyny są liczbami całkowitymi, a więc również ich suma jest liczbą całkowitą, a z tego wynika, że \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ c}\).
Ponadto \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ a,}\) jak i \(\displaystyle{ k}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\), a zatem \(\displaystyle{ k}\) jest wspólnym dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\) różnym od jedynki- sprzeczność z założeniami zadania. Wobec czego rozważane równanie nie ma rozwiązań.
W drugą stronę, to pomogę sobie twierdzeniem (pomyślałem, że szkoda żebym dłubał równania, jak to jest już zrobione ), i znalazłem, takie podobne twierdzenie (nie chcę mi się link otworzyć, więc muszę zacytować):
A zatem, u nas:Twierdzenie: Dla liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\), równanie diofantyczne \(\displaystyle{ ax + by = c}\) ma rozwiązanie w liczbach całkowitych \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ NWD(a, b)}\) jest dzielnikiem liczby \(\displaystyle{ c.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a,b}\) są liczbami względnie pierwszymi, to ich największy wspólny dzielnik jest równy \(\displaystyle{ 1}\), a wtedy dzieli on liczbę \(\displaystyle{ c}\), tzn. \(\displaystyle{ NWD \left( a,b\right)=1|c}\) , a więc, w myśl podanego twierdzenia, nasze równanie ma rozwiązanie w liczbach całkowitych.\(\displaystyle{ \square}\)