Matematyka.pl

Hej,
zastanawiam się czy jest podział liczb niewymiernych ze względu nie wyrażalność ich przez liczby z innej klasy liczb niewymiernych+liczb wymiernych. Nie umiem tego formalnie powiedzieć, więc posłużę się przykładem.

Czy można wyrazić \(\displaystyle{ e}\) za pomocą \(\displaystyle{ \pi}\) i liczb wymiernych? Dopuszczam podstawowe operacje arytmetyczne, ewentualnie przejścia graniczne

Nie wiem co rozumiesz przez przejścia graniczne. \(\displaystyle{ e}\) jest granicą pewnego znanego ciągu, którego elementy są liczbami wymiernymi. Czy w takim razie w jednej klasie chcesz mieć \(\displaystyle{ e}\) oraz 'wszystkie' ciągi których granicą jest \(\displaystyle{ e}\) oraz ewentualne wielokrotności?

Yelon pisze:Nie wiem co rozumiesz przez przejścia graniczne.

Ogólnie każda liczba niewymierna jest granicą ciągu liczb wymiernych...

JK

Posłużyłem się \(\displaystyle{ e}\), gdyż była wymieniona w przykładzie. Moim pytaniem chciałem doprecyzować sposób klasyfikacji.

Dopuszczenie przejśc granicznych powoduje,że pytanie ma trywialna odpowiedź: tak. Wynika to z tego co już napisali przedmówcy.
Ja rozumiem pytanie tak: czy dla dowolnych liczb niewymiernych \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) istnieja liczby wymierne \(\displaystyle{ q_i, i=-n,-n+1,\dots,n-1,n}\) takie, że \(\displaystyle{ \alpha=\sum_{i=-n}^n q_i\beta^i}\).
Takie cos zapisujemy jako \(\displaystyle{ \alpha\in\QQ(\beta)}\)
Odpowiedź na takie pytanie brzmi nie.

NA przykład jeżeli \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest liczba algebraiczną, a \(\displaystyle{ \alpha}\) jest, to taka równosc nie może zachodzić.

Pytanie, czy \(\displaystyle{ e\in\QQ(\pi)}\) jest pewnie z gatunku ciekawostek matematycznych (nie znam odpowiedzi, ale obstawiam, że nie)

-- 19 paź 2016, o 12:41 --

Nie trzeba zresztą szukać tak daleko: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\not\in\QQ(\sqrt{2})}\). Możesz sobie to sam udowodnić - wystarczy gdy zauważysz, że \(\displaystyle{ \QQ(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}: a,b\in\QQ\}}\)