Matematyka.pl

Wykaż, że nie istnieją dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y, z}\), dla których
\(\displaystyle{ 2x^2+5y^2=z^2}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Jeżeli istnieją rozwiązania przy podanych warunkach, to spośród nich można wybrać takie, w którym \(z\) jest najmniejsze ze wszystkich zetów. Weźmy tę trójkę \((x,y,z)\). Ponieważ \(t^2\equiv 0,\pm 1\pmod 5\), a musimy mieć \(2x^2\equiv z^2\pmod 5\), to \(x,z\equiv 0\pmod 5\), czyli \((x,y,z)=(5x_1,y,5z_1)\) dla pewnych całkowitych dodatnich \(x_1,z_1\). Z równania robi się \(10x_1^2+y^2=5z_1^2\), czyli \(y=5y_1\) i z równania robi się \(2x_1^2+5y_1^2=z_1^2\), gdzie \(z_1<z\) - sprzeczność.