Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdego skończonego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x_1, . . . , x_n\right\} }\) liczb rzeczywistych wskazać można niepusty jego podzbiór postaci \(\displaystyle{ \left\{ y_1, . . . , y_s\right\} }\) oraz liczbę całkowitą \(\displaystyle{ m}\) takie, że:
\(\displaystyle{ |m + y_1 + y_2 + . . . + y_s| \le \frac{1}{n+1} }\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Wsk.: Zauważ, że całe zadanie możesz sprowadzić do zbioru:

\(\displaystyle{ [0;1)}\)

każda liczba rzeczywista może być interpretowana jako: \(\displaystyle{ \bmod \ZZ}\)

W tej interpretacji dobieranie liczb całkowitych sprowadza się do dwóch przypadków: \(\displaystyle{ m= \pm 1}\)

I chodzi o to, że mamy dobrać taką sumę, która należy do zbioru:

\(\displaystyle{ A_{n}=\left[ 0; \frac{1}{n+1}\right] \cup \left[ 1- \frac{1}{n+1} ;1\right)}\)

Albo udowodnić, że taka istnieje...

Jeżeli choć jedna liczba należy do zbioru.: \(\displaystyle{ A_{n}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ x_{i} \in A_{n}}\)

To zadanie rozwiązane,

jeżeli założyć, że żadna nie należy do A to może da się uzyskać sprzeczność...

Pokaże ci to dla:

\(\displaystyle{ n=2}\)

niech:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} < x_{1}, x_{2} < \frac{2}{3} }\)

to ile wyniesie:

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}}\)

Czy może się zdarzyć, że ta suma nie będzie należeć do \(\displaystyle{ A_{2}}\) ?