W dowodzie wniosku Mertensa z twierdzenia Czebyszewa (\(\displaystyle{ \textstyle \sum_{p\le x} p^{-1} \log p = \log x + O(1)}\)) znalazłam takie przejście:
\(\displaystyle{ \log n! = \sum_{p \le n} \left \lfloor \frac np \right \rfloor \log p + O \left(n \sum_{p \le n} \frac{\log p}{p^2} \right) = \sum_{p \le n} \left \lfloor \frac np \right \rfloor \log p + O(n)}\).
Nie rozumiem, skąd się wzięło. Pierwsze oszacowanie, jakie przychodzi mi do głowy, czyli
\(\displaystyle{ \sum_{p \le n} \frac{\log p}{p^2} \le \log n \cdot \frac{\pi^2}{6}}\)
jest niewystarczające, bo \(\displaystyle{ O(n \log n)}\) nie jest (z tego, co wiem) \(\displaystyle{ O(n)}\). Proszę o wskazówkę, co mogę zrobić z tym fantem.
Wniosek Mertensa
-
Medea 2
- Użytkownik
- Posty: 2491
- Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 479 razy
Wniosek Mertensa
Że też na to wcześniej nie wpadłam - owszem, jest. Najłatwiej to pokazać z kryterium całkowego, prawda?
\(\displaystyle{ \sum_p \frac{\log p}{p^2} \le \sum_{k=2}^\infty \frac{\log k}{k^2} \le \int_1^\infty \frac{\log x}{x^2} \,\textrm{d}x = - \left.\frac{1 + \log x}{x}\right|_1^\infty = 1}\).
\(\displaystyle{ \sum_p \frac{\log p}{p^2} \le \sum_{k=2}^\infty \frac{\log k}{k^2} \le \int_1^\infty \frac{\log x}{x^2} \,\textrm{d}x = - \left.\frac{1 + \log x}{x}\right|_1^\infty = 1}\).
