Własność ciągu
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11428
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Własność ciągu
Udowodnić, że jeśli ciąg jest określony \(\displaystyle{ a_0 = 0 \\ a_1=1 \\ a_{n}=2a_{n-1}+ a_{n-2} }\) to licznik i mianownik ułamka nieskracalnego \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n} }\) są nieparzyste
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 3 mar 2021, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Pomógł: 1 raz
Re: Własność ciągu
Ciąg dla indeksów parzystych przyjmuje wartości parzyste, więc jeżeli ułamek \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) jest nieskracalny, to jest nieparzysty (w innym wypadku da się go skrócić przez \(\displaystyle{ 2}\)). Ciąg dla indeksów nieparzystych przyjmuje wartości nieparzyste.
Skoro ułamek nieskracalny musi mieć indeks (a tym samym wartość) nieparzystą, to zarówno jego licznik i mianownik są nieparzyste.
Domyślam się więc, że cały ciężar polega na udowodnieniu, że ciąg dla indeksów parzystych przyjmuje wartości parzyste, a dla nieparzystych nieparzyste.
Przyjmijmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) parzyste, że \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest nieparzyste. Z zasady minimum istnieje najmniejsze takie \(\displaystyle{ n.}\) Zatem \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) jest parzyste, z definicji ciągu mamy \(\displaystyle{ a_n = 2 \cdot a_{n-1} + a_{n-2}}\) co jako suma dwóch liczb parzystych jest parzyste. To daje sprzeczność i kończy dowód.
Analogicznie można udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego jego wartości są nieparzyste.
Skoro ułamek nieskracalny musi mieć indeks (a tym samym wartość) nieparzystą, to zarówno jego licznik i mianownik są nieparzyste.
Domyślam się więc, że cały ciężar polega na udowodnieniu, że ciąg dla indeksów parzystych przyjmuje wartości parzyste, a dla nieparzystych nieparzyste.
Przyjmijmy nie wprost, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\) parzyste, że \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest nieparzyste. Z zasady minimum istnieje najmniejsze takie \(\displaystyle{ n.}\) Zatem \(\displaystyle{ a_{n-2}}\) jest parzyste, z definicji ciągu mamy \(\displaystyle{ a_n = 2 \cdot a_{n-1} + a_{n-2}}\) co jako suma dwóch liczb parzystych jest parzyste. To daje sprzeczność i kończy dowód.
Analogicznie można udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego jego wartości są nieparzyste.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Własność ciągu
Przypuszczam że niewłaściwie interpretujesz treść zadania. Nie chodzi o wykazanie że dla tych \(\displaystyle{ n}\), dla których ułamek \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) jest nieskracalny, licznik i mianownik ułamka są nieparzyste (co w istocie jest dość trywialne). Chodzi o wykazanie, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) po sprowadzeniu ułamka \(\displaystyle{ \frac{a_n}{n}}\) do postaci nieskracalnej licznik i mianownik staną się nieparzyste.