Matematyka.pl

Liczba urocza jest w formie \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{m} }\), gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą naturalną. Wykazać, że dowolna liczba naturalna \(\displaystyle{ n \ge 2 }\) jest iloczynem \(\displaystyle{ k}\) różnych liczb uroczych, gdy \(\displaystyle{ k \ge n-1}\) .

\(\displaystyle{
1 + \frac{1}{m} = \frac{m+1}{m}\\
\\
\prod_{i=1}^{n-1} \frac{i+1}{i} = n
}\)

dla przykładu
\(\displaystyle{
n = 5 = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4}\\
k = 4 \ge n-1\\
}\)