Matematyka.pl

Udowodnij, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami całkowitymi, to liczba \(\displaystyle{ N = ab(a^2 − b^2)(a^2 + b^2) }\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 30}\).

Udowodniłem, że ta liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\), ale za nic nie wiem jak uzasadnić podzielność przez \(\displaystyle{ 5}\). Czy może mi ktoś z tym pomóc?

Jak nie masz innego pomysłu, to zawsze pozostanie pozostaje policzenie wartości tego wyrażenia dla `a,b=1,2,3,4`
Ale prościej popatrzeć na reszty z kwadratów przy dzieleniu przez `5`

Faktycznie \(\displaystyle{ 30| x^5y-xy^5. }\)

Janusz Tracz pisze: ↑10 lis 2022, o 06:22

\(\displaystyle{ x^5y-xy^5=30 \binom x2 \binom y1+150 \binom x3 \binom y1+240 \binom x4 \binom y1+120 \binom x5 \binom y1 -30 \binom x1 \binom y2-150 \binom x1 \binom y3-240\binom x1 \binom y4-120 \binom x1 \binom y5 .}\)

Faktycznie \(\displaystyle{ 30| x^5y-xy^5. }\)

Pisząc wskazówkę zapomniałem o tej oczywistej i trywialnej tożsamości

a4karo pisze: ↑10 lis 2022, o 07:45 Pisząc wskazówkę zapomniałem o tej oczywistej i trywialnej tożsamości

Tak właśnie myślałem... na szczęście czuwam na posterunku od 6:00 rano aby wielomiany \(\displaystyle{ \RR\left[ X,Y\right] }\) zapisywać w bazie \(\displaystyle{ \left\{ {x \choose i} {y \choose j}: i,j\in \NN \right\} }\) jak pan Bóg przykazał.

No ok, Janusz Tracz jak zwykle sypie jakieś równości nie wiadomo skąd, ale ja chciałbym się dowiedzieć jak to można jakoś normalnie rozwiązać. a4karo co masz na myśli mówiąc, żeby popatrzeć na reszty z kwadratów przy dzieleniu przez 5? Czyli mam wziąć \(\displaystyle{ a=5k+r_a}\) i \(\displaystyle{ b=5m+r_b}\) dla \(\displaystyle{ r_a,r_b \in \left\{ 1,2,3,4\right\} }\) i podstawić do tego wyrażenia czy jak?

Na przyklad tak. Ale możesz przyjrzeć się jaką postać maja liczby `(5k+r)^2`, gdzie `r=1,2,3,5` (a dokładniej jaka mają resztę z dzielenia przez `5`)