A oto zadanie, które zmiksowałem z poprzednim przypadkiem, też nie mogę go zrobić
Udowodnij, że dla dowolnej liczby p większej od 5 liczba \(\displaystyle{ p^{4} - 50p^{2} +49}\) dzieli się przez 2880.
Udowodnij, że dla dowolnej liczby p...
-
*Kasia
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
Udowodnij, że dla dowolnej liczby p...
\(\displaystyle{ 2880=9 320}\)]
Podzielność tej liczby przez 9 łatwo udowodnić.
Albo \(\displaystyle{ p-1}\) albo \(\displaystyle{ p+1}\) dzieli się przez 3, bo p nie dzieli się przez 3.
Albo \(\displaystyle{ p-7}\) albo \(\displaystyle{ p+7}\) dzieli się przez 3
Czyli cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 3 3=9}\)
Pozostaje podzielność przez 320
\(\displaystyle{ 320=64 5}\)
Jedna z liczb \(\displaystyle{ p-1\ \ p+1}\) dzieli się tylko przez 2, druga przez 4; analogicznie \(\displaystyle{ p-7\ \ p+7}\) Zatem iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 2 4 2\cdot4=64}\)
Zostaje jeszcze podzielność przez 5.
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, to \(\displaystyle{ 5|(p-1)}\)
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, to \(\displaystyle{ 5|(p-7)}\)
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to \(\displaystyle{ 5|(p+7)}\)
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, to \(\displaystyle{ 5|(p+1)}\)
Czyli iloczyn zawsze będzie podzielny przez 5.
Podzielność tej liczby przez 9 łatwo udowodnić.
Albo \(\displaystyle{ p-1}\) albo \(\displaystyle{ p+1}\) dzieli się przez 3, bo p nie dzieli się przez 3.
Albo \(\displaystyle{ p-7}\) albo \(\displaystyle{ p+7}\) dzieli się przez 3
Czyli cały iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 3 3=9}\)
Pozostaje podzielność przez 320
\(\displaystyle{ 320=64 5}\)
Jedna z liczb \(\displaystyle{ p-1\ \ p+1}\) dzieli się tylko przez 2, druga przez 4; analogicznie \(\displaystyle{ p-7\ \ p+7}\) Zatem iloczyn dzieli się przez \(\displaystyle{ 2 4 2\cdot4=64}\)
Zostaje jeszcze podzielność przez 5.
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, to \(\displaystyle{ 5|(p-1)}\)
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 2, to \(\displaystyle{ 5|(p-7)}\)
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3, to \(\displaystyle{ 5|(p+7)}\)
Jeśli p przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, to \(\displaystyle{ 5|(p+1)}\)
Czyli iloczyn zawsze będzie podzielny przez 5.
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
Udowodnij, że dla dowolnej liczby p...
2880=2*2*2*2*2*2*3*3*5
(p-1)(p+1) dzieli 8 bo p-1 i p+1 sa kolejnymi liczbami parzystymi i
(p-7)( p+7) dzieli sie przez 8 bo p-7 ,p+7 sa parzyste i te liczby roznia sie o 14 wiec jedna z nich musi byc podzielna przez 4
liczba p musi byc postaci 3k+1 to bedzie
3k*(3k+2)(3k-6)(3k+8) dzieli sie przez 9 bo 9|3k(3k-6)
lub p jest postaci 3k+2 to
3k+1(3k+3)(3k-5)(3k+9) dzieli sie przez 9 bo 9|(3k+9)(3k+3)
wiec dzieli sie przez 9
zostalo jeszcze 5
p musi byc postaci 5k+1 wtedy (5k+1-1)=5k | 5
lub 5k+2 wtedy (5k+2-7) = 5k-5 | 5
lub 5k+3 wtedy (5k+3+7)=5k+10 | 5
lub 5k+4 wtedy (5k+4+1) = 5k+5 |5
zatem liczba ta jest podzielna przez 5
wiec liczb jest podzielna przez 2880
(p-1)(p+1) dzieli 8 bo p-1 i p+1 sa kolejnymi liczbami parzystymi i
(p-7)( p+7) dzieli sie przez 8 bo p-7 ,p+7 sa parzyste i te liczby roznia sie o 14 wiec jedna z nich musi byc podzielna przez 4
liczba p musi byc postaci 3k+1 to bedzie
3k*(3k+2)(3k-6)(3k+8) dzieli sie przez 9 bo 9|3k(3k-6)
lub p jest postaci 3k+2 to
3k+1(3k+3)(3k-5)(3k+9) dzieli sie przez 9 bo 9|(3k+9)(3k+3)
wiec dzieli sie przez 9
zostalo jeszcze 5
p musi byc postaci 5k+1 wtedy (5k+1-1)=5k | 5
lub 5k+2 wtedy (5k+2-7) = 5k-5 | 5
lub 5k+3 wtedy (5k+3+7)=5k+10 | 5
lub 5k+4 wtedy (5k+4+1) = 5k+5 |5
zatem liczba ta jest podzielna przez 5
wiec liczb jest podzielna przez 2880