Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej istnieje taka jej wielokrotność, którą można zapisać w systemie dziesiętnym używając wyłącznie cyfr \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej
To zadanie: Rozpatrzmy liczby naturalne. Daje się poniekąd odwrócić. Claim na początek jest taki, że dla liczb \(\displaystyle{ n\in\NN}\) względnie pierwszych z \(\displaystyle{ 10}\) wystarczą same \(\displaystyle{ 1}\) w zapisie. Faktycznie jako, że \(\displaystyle{ 9n \bot 10}\) to z tw. Eulera mamy
zatem \(\displaystyle{ n| \underbrace{111\dots1}_{\phi(9n)-\text{razy}}}\).
W ogólności jeśli mamy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN}\) to zapisujemy je \(\displaystyle{ n=2^{\xi} \times 5^{\eta} \times n_0}\), gdzie \(\displaystyle{ n_0 \bot 10}\). Jedyna zmiana jest taka, że teraz
\(\displaystyle{ 10^{\phi(9n)}-1\equiv 0\mod 9n }\)
zatem \(\displaystyle{ n| \underbrace{111\dots1}_{\phi(9n)-\text{razy}}}\).
W ogólności jeśli mamy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN}\) to zapisujemy je \(\displaystyle{ n=2^{\xi} \times 5^{\eta} \times n_0}\), gdzie \(\displaystyle{ n_0 \bot 10}\). Jedyna zmiana jest taka, że teraz
\(\displaystyle{ n| \underbrace{111\dots1}_{\phi(9n_0)-\text{razy}} \,\, \underbrace{000\dots0}_{\max\{\xi,\eta\}-\text{razy}}.}\)