Matematyka.pl

W jednej z książek znalazłem takie oto twierdzenie:
Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu pierwszych. Przedstawienie takie jest jednoznaczne w następującym sensie:
Niech \(\displaystyle{ p_1\le p_2\le...\le p_k,q\le q_1\le q_2\le ...\le q_m}\) i niech \(\displaystyle{ n=p_1p_2...p_k=q_1q_2...q_m}\), przy czym \(\displaystyle{ p_1,...,p_k,q_1,...,q_m}\) są liczbami pierwszymi. Wtedy \(\displaystyle{ k=m}\) i \(\displaystyle{ p_1=q_1,p_2=q_2,...,p_k=q_k}\).

Chciałbym spytać czy wszystkie założenia w tym twierdzeniu są poprawne? Chodzi mi o to, czy przypadkiem nie musi być założenia \(\displaystyle{ n>1}\), bo jeśli \(\displaystyle{ n=1}\), to ta liczba nie jest iloczynem liczb pierwszych. Jak to jest?

co to jest \(\displaystyle{ q}\) ?

Racja, to moja pomyłka. Tam nie ma \(\displaystyle{ q}\). Zaczyna się od \(\displaystyle{ q_1}\).

Założenia są poprawne - jedynka rozkłada się jednoznacznie jako iloczyn zerowej liczby liczb pierwszych.

A skąd wiemy, że iloczyn zerowej liczby liczb pierwszych jest równy 1? Poza tym 1 to 1 i to nie jest liczba pierwsza.

Dodano po 4 minutach 18 sekundach:
Nie wiem, jakieś niejasne to dla mnie jest trochę.

Na mocy konwencji - tak jak wartość pustej sumy to zero a wartość silni z zera to jeden, tak samo wartość pustego iloczynu to jeden. Nie ma znaczenia że \(\displaystyle{ 1}\) nie jest liczbą pierwszą, bo to nie rozkładana liczba ma być pierwsza, tylko elementy rozkładu - a wszystkie elementy rozkładu są w trywialny sposób liczbami pierwszymi, bo tych elementów jest zero sztuk.

Możesz też pomyśleć, że twierdzenie o jednoznaczności rozkładu mówi, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) istnieje dokładnie jeden ciąg liczb naturalnych \(\displaystyle{ (\alpha_i)}\) o skończonym nośniku (jest w nim skończenie wiele liczb niezerowych) taki, że

\(\displaystyle{ n=\prod_{i\in\NN}p_i^{\alpha_i},}\)

gdzie \(\displaystyle{ (p_i)}\) jest (rosnącym) ciągiem, w którym występują wszystkie liczby pierwsze. Wtedy jedynce odpowiada ciąg stale równy zero.

JK

edit: ciąg ma być oczywiście liczb naturalnych, a nie zerojedynkowy...