Matematyka.pl

czyli można powiedzieć, że \(\displaystyle{ \phi(n)= \phi(2n) }\) dla \(\displaystyle{ n}\) - nieparzystych

Dodano po 1 godzinie 37 minutach 1 sekundzie:
Trochę pobawiłem się tocjentem i zastanowiło mnie takie pytanie:
Jakie maksymalne wartości może przyjąć \(\displaystyle{ \frac{n}{ \phi(n) } }\)?
Największe jakie znalazłem to \(\displaystyle{ \frac{7 \cdot 11}{2 ^{4} } }\)

Dodano po 11 minutach 2 sekundach:
Jednak rośnie dla \(\displaystyle{ p\#}\) pytanie dokąd

Łatwo to rozwiązać za pomocą niegdyś wykpionego przez Ciebie wzoru: jeśli \(\displaystyle{ n = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}}\) jest rozkładem \(\displaystyle{ n}\) na liczby pierwsze (bez zerowych wykładników), to

\(\displaystyle{ \phi(n) = n \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)}\),

czyli po przekształceniu

\(\displaystyle{ \frac{n}{\phi(n)} = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{p_1} \right) \cdot \ldots \cdot \left( 1 - \frac{1}{p_k} \right)}}\).

Skoro szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny, to iloczyn

\(\displaystyle{ \prod_{p \text{ pierwsza}} \left( 1 - \frac{1}{p} \right)}\)

rozbiega do zera, zatem wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{n}{\phi(n)}}\) może przyjmować dowolnie wysokie wartości. W szczególności, wartość \(\displaystyle{ \frac{n_k}{\phi(n_k)}}\) dąży do nieskończoności dla każdego ciągu \(\displaystyle{ (n_k)}\), takiego że \(\displaystyle{ n_k}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ k}\) początkowych liczb pierwszych.

Ja wykupiłem jakiś wzór?
To nieładny wynik. Nic ciekawego. Gdyby tak do jakiegoś \(\displaystyle{ \pi }\), to by było fajniej.