Matematyka.pl

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\), to niech \(\displaystyle{ k}\) będzie największym wykładnikiem, takim że \(\displaystyle{ p^k \leq n}\), a \(\displaystyle{ S(n)= \sum_{p} p^k}\) jest sumą takich składników. Udowodnić, że istnieje niekończenie wiele liczb \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ n < S(n)}\).

\(\displaystyle{ n=p ^{p+1} }\)
\(\displaystyle{ k=p}\)
\(\displaystyle{ S(n)=(p+1) \cdot p ^{p} >p ^{p+1}=n}\)

Brombal pisze: ↑2 lut 2021, o 17:07 \(\displaystyle{ n=p ^{p+1} }\)
\(\displaystyle{ k=p}\)
\(\displaystyle{ S(n)=(p+1) \cdot p ^{p} >p ^{p+1}=n}\)

`k=p+1`

Nie zauważyłem \(\displaystyle{ \le}\) .
Ale proponuję liczby w postaci
\(\displaystyle{ n=2 ^{a} \cdot 3}\)

Dodano po 1 dniu 4 godzinach 26 minutach 49 sekundach:
\(\displaystyle{ S(n) =2^{a+1}+ 3^{ a \cdot \left\lfloor \frac{\log(2)}{\log(3)} +1 \right\rfloor} >2^a \cdot 3}\)

Dodano po 13 godzinach 57 minutach 49 sekundach:
\(\displaystyle{ 3^{ a \cdot \left\lfloor \frac{\log(2)}{\log(3)} +1 \right\rfloor} >2^a}\)
\(\displaystyle{ 3^{ \left\lfloor \frac{\log(2)}{\log(3)} +1 \right\rfloor} >2}\)