Matematyka.pl

Spójrzcie czy ten dowód jest sensowny.
--------------------------------------------------


Twierdzenie.
Dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p_n}\), w przedziale \(\displaystyle{ \langle (p_n-1)^2,p_n^2-1 \rangle}\) znajduje się co najmniej jedna liczba pierwsza.

Dowód.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ m}\) ilość liczb naturalnych w przedziale \(\displaystyle{ \langle(p_n-1)^2,p_n^2-1\rangle}\):

\(\displaystyle{ m=2 p_n - 1}\)

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ p_k}\) zbiór liczb pierwszych mniejszych od \(\displaystyle{ p_n}\).
Najmniejsza liczba złożona, która nie ma dzielnika w \(\displaystyle{ p_k}\), to \(\displaystyle{ p_n^2}\),stąd łatwo zauważyć że liczby złożone w przedziale \(\displaystyle{ \langle(p_n-1)^2,p_n^2-1\rangle}\) mają przynajmniej jeden dzielnik ze zbioru \(\displaystyle{ p_k}\).

Z sita Erastotenesa, w badanym przedziale jest co najwyżej \(\displaystyle{ \left\lceil \frac{m}{p_1} \right\rceil}\) liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ p_1}\), więc liczb niepodzielnych przez \(\displaystyle{ p_1}\) zostaje co najmniej \(\displaystyle{ \left\lfloor m \frac{p_1-1}{p_1} \right\rfloor}\).

Kontynuując rozważanie dla pozostałych \(\displaystyle{ p_k}\), pozostaje co najmniej

\(\displaystyle{ \left\lfloor \left\lfloor m \frac{p_k-1}{p_k} \right\rfloor \frac{p_{k-1}-1}{p_{k-1}} \right\rfloor ... \right\rfloor}\)
liczb niepodzielnych przez wszystkie elementy zbioru\(\displaystyle{ p_k}\), a zatem liczb pierwszych.

Iloczyn ten jest większy od 1 gdy:

\(\displaystyle{ m >\left\lceil \left\lceil \left\lceil \frac{p_1}{p_1-1}\right\rceil \frac{p_{2}}{p_{2}-1} \right\rceil ... \frac{p_{k}}{p_{k}-1}\right\rceil}\)

Ale:

\(\displaystyle{ k+1 >= \left\lceil \left\lceil \left\lceil \frac{p_1}{p_1-1}\right\rceil \frac{p_{2}}{p_{2}-1} \right\rceil ... \frac{p_{k}}{p_{k}-1}\right\rceil}\)

Czyli musi być spełnione:

\(\displaystyle{ m= 2p_n-1 > n}\)

co zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ n}\).

pasman pisze: Kontynuując rozważanie dla wszystkich \(\displaystyle{ p_k}\), pozostaje co najmniej \(\displaystyle{ \left\lfloor m \prod_{k<n} \frac{p_k-1}{p_k} \right\rfloor}\) liczb niepodzielnych przez wszystkie elementy zbioru\(\displaystyle{ p_k}\)(...)

Bardzo proszę o dokładniejsze wyjaśnienie skąd to się wzięło, bo wygląda to na blef. Jeśli bowiem zastosowalibyśmy to rozumowanie do przedziału \(\displaystyle{ \langle 24,27\rangle}\), to mielibyśmy \(\displaystyle{ m=4}\) oraz

\(\displaystyle{ \left\lfloor m \prod_{k=1,2,3}\frac{p_k-1}{p_k}\right\rfloor=\left\lfloor 4 \frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{4}{5} \right\rfloor=\left\lfloor \frac{32}{30} \right\rfloor=1}\)

Wynikałoby z tego, że w tym przedziale znajduje się liczba, która nie jest podzielna przez żadną z liczb \(\displaystyle{ 2,3,5}\)

rzeczywiście, coś się nie zgadza

A poza tym dbaj o oznaczenia: \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbą pierwszą, zatem \(\displaystyle{ p_k}\) nie może oznaczać zbioru

na dzisiaj starczy tej zabawy