Matematyka.pl

Proszę o wskazówki do zadań, a ja będę dalej próbował:

\(\displaystyle{ (a)\,\,2^x(2x+1)=y^2}\)

\(\displaystyle{ (b)\,\,(5a-1)3^b=5^a(3b+1)}\) tutaj zauważyłem, że \(\displaystyle{ (5^a,5a-1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (3^b,3b+1)=1}\) ale nie wiem co dalej.

\(\displaystyle{ (c)\,\,x^3-4x=(2y+1)^2}\)

Dodam jeszcze tylko, że zadanie te są w dziale "Zastosowanie jednoznaczności rozkładu w rozwiązywaniu równań."

Rozumiem, że chodzi o rozwiązanie w liczbach naturalnych.

bazyl01 pisze: ↑25 kwie 2024, o 23:04\(\displaystyle{ (a)\,\,2^x(2x+1)=y^2}\)

W rozkładzie liczby \(\displaystyle{ y^2}\) wszystkie potęgi są parzyste. Jaki ma to wpływ na rozkład liczby \(\displaystyle{ 2^x(2x+1)}\) ?

bazyl01 pisze: ↑25 kwie 2024, o 23:04\(\displaystyle{ (b)\,\,(5a-1)3^b=5^a(3b+1)}\) tutaj zauważyłem, że \(\displaystyle{ (5^a,5a-1)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (3^b,3b+1)=1}\) ale nie wiem co dalej.

No to w zasadzie koniec. Ile liczb \(\displaystyle{ 5}\) jest w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) ? Co nam to mówi o \(\displaystyle{ a}\) ? I to samo z trójką.

JK

W tym (a) nie wiem jak pociągnąć z tą wskazówką, wybacz.

W (b) w rozkładzie \(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) nie występują 5-tki i występują 3-ki, a w rozkładzie \(\displaystyle{ 5^a(3b+1)}\) występują piątki, ale nie występują 3-ki, zatem równość nie może zachodzić, czy tak? Dziękuję i pozdrawiam!

bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 00:54 W tym (a) nie wiem jak pociągnąć z tą wskazówką, wybacz.

W rozkładzie liczby \(\displaystyle{ 2^x(2x+1)}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ x}\) dwójek, więc \(\displaystyle{ x}\) musi być parzyste. Ponadto \(\displaystyle{ 2x+1}\) musi być kwadratem liczby nieparzystej. Zatem \(\displaystyle{ 2x+1=(2k+1)^2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\NN}\). W ten sposób możesz wyznaczyć pary liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełniające te równanie - liczby te będą zależne od \(\displaystyle{ k}\), więc będzie nieskończenie wiele rozwiązań.

JK

równania te rozwiązujemy w zbiorze liczb całkowitych, przepraszam zapomniałem dodać.

skoro \(\displaystyle{ x}\) ma być parzyste, to \(\displaystyle{ x=2l,\,\,l\in\mathbb{N_0}}\), gdyż dla \(\displaystyle{ l\in\mathbb{Z_-}}\) mamy, że \(\displaystyle{ 2^l\notin\mathbb{Z}.}\)
skoro \(\displaystyle{ 2x+1}\) ma być kwadratem liczby nieparzystej, to \(\displaystyle{ 2x+1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1\,\,\Leftrightarrow\,\,x=2k(k+1),\,\,k\in\mathbb{Z}.}\)

czy tak? dziękuję za odpowiedź.

bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 11:12skoro \(\displaystyle{ x}\) ma być parzyste, to \(\displaystyle{ x=2l,\,\,l\in\mathbb{N_0}}\), gdyż dla \(\displaystyle{ l\in\mathbb{Z_-}}\) mamy, że \(\displaystyle{ 2^l\notin\mathbb{Z}.}\)

To trochę za mało - cóż z tego, że \(\displaystyle{ 2^l\notin\mathbb{Z}}\) ?
Jeśli \(\displaystyle{ l<0}\), to \(\displaystyle{ 2^{x}(2x+1)<0<y^2.}\)

bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 11:12skoro \(\displaystyle{ 2x+1}\) ma być kwadratem liczby nieparzystej, to \(\displaystyle{ 2x+1=(2k+1)^2=4k^2+4k+1\,\,\Leftrightarrow\,\,x=2k(k+1),\,\,k\in\mathbb{Z}.}\)

Dobrze, ale jeszcze musisz wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\).

bazyl01 pisze: ↑26 kwie 2024, o 00:54W (b) w rozkładzie \(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) nie występują 5-tki i występują 3-ki, a w rozkładzie \(\displaystyle{ 5^a(3b+1)}\) występują piątki, ale nie występują 3-ki, zatem równość nie może zachodzić, czy tak? Dziękuję i pozdrawiam!

Po pierwsze, to za mało: w rozkładzie \(\displaystyle{ (5a-1)3^b}\) wcale nie muszą występować trójki (a w rozkładzie \(\displaystyle{ 5^a(3b+1)}\) wcale nie muszą występować piątki), ale istotnie nie będzie rozwiązań.
Po drugie, powyższe działa tylko dla liczb naturalnych. Łatwo odrzucić przypadek jednej liczby nieujemnej, a drugiej ujemnej. Przypadek ujemnych \(\displaystyle{ a,b}\) trzeba rozważyć osobno.

JK