Matematyka.pl

Udowodnić jednoznaczność rozkładu liczby pierwszej na sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Dla \(\displaystyle{ p = 23}\) nie działa.

Samouk1 pisze: ↑8 sty 2023, o 21:41 Dla \(\displaystyle{ p = 23}\) nie działa.

Ale co nie działa?

JK

1+22
4+19
9+14
16+8

pierwsza liczba jest kwadratem, druga liczba nie jest kwadratem. Sprawdziłem wszystko, więc liczby \(\displaystyle{ 23}\) nie da się przedstawić, jako sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Samouk1 pisze: ↑8 sty 2023, o 21:51Sprawdziłem wszystko, więc liczby \(\displaystyle{ 23}\) nie da się przedstawić, jako sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

No i co z tego? Czy to jakkolwiek przeczy twierdzeniu o jednoznaczności rozkładu?

Mylisz istnienie z jednoznacznością.

JK

Czyli chodzi o to, że jeżeli ma, to jest jednoznaczny?

No tak.

JK

1. \(\displaystyle{ a^2+b^2=n}\)
Istnieje takie \(\displaystyle{ x}\) że
\(\displaystyle{ (a+x)^2+c^2=n}\)
\(\displaystyle{ a^2+2ax+x^2+c^2=n}\)
z 1.
\(\displaystyle{ x^2+2ax+c^2=b^2}\)
dla
\(\displaystyle{ c=a}\)
\(\displaystyle{ (a+x)^2=b^2}\)
co daje ten sam rozkład

a gdzie użyto pierwszość \(\displaystyle{ n}\) ; np n=65 ma różne rozkłady itd. ?

Nie użyto bo liczby złożone dające się przedstawić w postaci sumy kwadratów da się przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ a^2(b^2+c^2)=n}\)
Co daje nam co najmniej dwie kombinacje

Co daje nam co najmniej dwie kombinacje

niekoniecznie np. \(\displaystyle{ n=10}\) ma jednoznaczny rozkład

najprościej będzie przyjąć, że \(\displaystyle{ 10}\) jest liczbą pierwszą

Czyli dotyczy to liczb w których czynnik wspólny \(\displaystyle{ a^2 \neq 1}\)

najprościej będzie przyjąć, że 10 jest liczbą pierwszą

Niewątpliwie metoda dobra w matematyce można różne rzeczy przyjmować a szczególnie w logice jest to dobry sposób na życie...
(Sam często też tak robię)...

Lecz pokażę wam ciekawszy sposób niż jakieś nudne zliczanki do tego nadaje się funkcja liczbowa, która mówi ile rozwiązań ma równanie:

\(\displaystyle{ x^2+y^2=n}\)

A oto funkcja:

\(\displaystyle{ f(n)=4 \sum_{d|n}^{}\sin \left( \frac{\pi}{2}d \right) }\)

Ona zlicza wszystkie przypadki rozwiązań takiego równania, a więc jak rozwiązaniem jest:

\(\displaystyle{ (a,b)}\)

To zlicza:

\(\displaystyle{ ( \pm a, \pm b)}\)

oraz:

\(\displaystyle{ ( \pm b, \pm a)}\)

Co da w sumie \(\displaystyle{ 8}\) (osiem) rozwiązań...

wystarczy teraz w tym równaniu przyjąć: \(\displaystyle{ n=p}\)

i wtedy łatwo wywnioskować, że rozwiązanie w naturalnych i z dokładnością do permutacji będzie co najwyżej jedno bo w tej sumie wyjdzie osiem lub zero co każdy może sprawdzić...(dla \(\displaystyle{ p=2}\) będzie jeszcze osobny przypadek)

A jeśli ktoś zapyta skąd ta funkcja a to powiem od Pana Sierpińskiego... Czasem warto z nim pogadać...