Równanie z NWW

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Równanie z NWW

Post autor: mol_ksiazkowy »

Dla jakich \(\displaystyle{ a, b, c}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ 2NWW(a,b,c)= ab+bc+ca - 1 }\) ?
Ostatnio zmieniony 24 mar 2023, o 14:05 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Równanie z NWW

Post autor: arek1357 »

Tu na początku możemy założyć, że:

\(\displaystyle{ 1<a \le b \le c}\)

Tworzymy pierścień reszt:

\(\displaystyle{ \ZZ_{2abc}=\left\{ 0,1,2,3,...,a,...,b,...,c,...2abc-1\right\} }\)

Równanie wyjściowe w tym pierścieniu wygląda tak:

\(\displaystyle{ ab+ac+bc=1}\)

teraz jeżeli przyjmiemy , że mamy choć jedną parę taką, że:

\(\displaystyle{ (a,b)=d>1}\)

To będzie:

\(\displaystyle{ d|ab+ac+bc}\)

więc nasza równość będzie tak wyglądać:

\(\displaystyle{ dr=1}\)

Gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest w tym pierścieniu dzielnikiem zera, a to nieprawda, więc liczby parami muszą być względnie pierwsze...

Więc nasze równanie sprowadzi się do postaci;

\(\displaystyle{ ab+ac+bc=2abc}\)

Załóżmy, że:

\(\displaystyle{ a,b,c>1}\)

\(\displaystyle{ ab+ac+bc=2abc/abc}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =2}\)

Oczywiście przy tych założeniach to równanie nie pyknie...

więc załóżmy, że:

\(\displaystyle{ c=1}\)

\(\displaystyle{ 2ab=ab+a+b-1}\)

\(\displaystyle{ ab-b=a-1}\)

\(\displaystyle{ b(a-1)=a-1}\)

wyjdzie z tego, że :

\(\displaystyle{ b=1}\)

Czyli rozwiązaniem będzie jak widać trój ka:

\(\displaystyle{ (a,1,1)}\)
Ostatnio zmieniony 28 mar 2023, o 13:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Samouk1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Równanie z NWW

Post autor: Samouk1 »

arek1357 pisze: 28 mar 2023, o 09:37 Tu na początku możemy założyć, że:

\(\displaystyle{ 1<a \le b \le c}\)

Tworzymy pierścień reszt:

\(\displaystyle{ \ZZ_{2abc}=\left\{ 0,1,2,3,...,a,...,b,...,c,...2abc-1\right\} }\)
Nie rozumiem tego zabiegu
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Równanie z NWW

Post autor: arek1357 »

Co nie rozumiesz pierścienia?
ODPOWIEDZ