Matematyka.pl

Rozwiąż w liczbach naturalnych, x jest liczbą pierwszą oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2 -33z^2=8yz.}\)

nie gwarantuję, ale może się przyda:
\(\displaystyle{ x^2+y^2 -33z^2=8yz}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x^2+(y-4z)^2=49z^2}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x^2=(7z-y+4z)(7z+y-4z)}\)
\(\displaystyle{ x^2=(11z-y)(3z+y)}\)

[edit]

Otrzymujemy że
\(\displaystyle{ x^2=14z-1}\)
\(\displaystyle{ x^2+1=14z}\)
Stąd wnioskujemy że \(\displaystyle{ x^2}\) musi dawać resztę \(\displaystyle{ 6}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), co jest niemożliwe, czyli takie liczby nie istnieją.

PS. Oczywiście mogę się mylić. ( bo zapomniałem o przypadku gdy \(\displaystyle{ 11z-y=3z+y}\), ale Vax dokończył)
Pozdrawiam

michary91 pisze:nie gwarantuję, ale może się przyda:
\(\displaystyle{ x^2+y^2 -33z^2=8yz}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x^2+(y-4z)^2=49z^2}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ x^2=(7z-y+4z)(7z+y-4z)}\)
\(\displaystyle{ x^2=(11z-y)(3z+y)}\)

[edit]

Otrzymujemy że
\(\displaystyle{ x^2=14z-1}\)
\(\displaystyle{ x^2+1=14z}\)
Stąd wnioskujemy że \(\displaystyle{ x^2}\) musi dawać resztę \(\displaystyle{ 6}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 7}\), co jest niemożliwe, czyli takie liczby nie istnieją.

PS. Oczywiście mogę się mylić.

Kończąc dowód:

\(\displaystyle{ x^2 = (11z-y)(3z+y)}\)

Skoro lewa strona jest nieujemna, prawa również musi być, zauważmy, że oba czynniki po prawej muszą być nieujemne, istotnie, zakładając, że oba są ujemne otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 11z-y < 0\\ 3z+y < 0 \end{cases}}\)

Dodając stronami:

\(\displaystyle{ 14z < 0 \Rightarrow z < 0}\) ale z jest naturalne co prowadzi do sprzeczności. Zatem oba czynniki są nieujemne. Sprawdźmy przypadek, gdy oba czynniki są równe:

\(\displaystyle{ 11z-y = 3z+y}\)

\(\displaystyle{ 2y = 8z / :2}\)

\(\displaystyle{ y=4z}\)

Wstawiając do pierwszego równania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x^2 = 49z^2 \Rightarrow x = 7z}\) stąd wynika, że x jest podzielny przez 7, ale x jest liczbą pierwszą, więc zajdzie to wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x=7 \wedge z=1}\) Wówczas podstawiając do równania podanego w treści zadania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x^2+y^2-33z^2=8yz}\)

\(\displaystyle{ 49+y^2-33=8y}\)

\(\displaystyle{ y^2-8y+16 = 0}\)

\(\displaystyle{ (y-4)^2 = 0 \Rightarrow y=4}\)

Mamy zatem pierwszą parę liczb: \(\displaystyle{ (x,y,z) = (7,4,1)}\)

Załóżmy zatem, że oba czynniki są różne, oczywiście nie mogą być oba równe 1 (jeżeli będą równe 1, otrzymamy po prawej stronie 1, czyli \(\displaystyle{ x=1}\) ale 1 nie jest liczbą pierwszą) Zauważmy również, że oba czynniki nie mogą być naraz większe od 1, jeżeli byłby większe od 1, to uwzględniając to, że dane liczby są różne prawa strona miałaby 3 dzielniki wtedy, i tylko wtedy gdy oba czynniki byłyby liczbami pierwszymi, ale dodatkowo musi to być kwadrat liczby całkowitej, a skoro mamy tu iloczyn 2 liczb pierwszych, to będzie on kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy będą one równe, co jest sprzeczne z założeniem, czyli przynajmniej jeden z czynników jest równy 1. Rozpatrzmy pierwszy przypadek:

\(\displaystyle{ 11z-y = 1 \Rightarrow y = 11z-1}\)

Wstawiając do 1 równania:

\(\displaystyle{ x^2 = (11z-y)(3z+y)}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x^2 = 14z-1}\)

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ reszta kwadratowa z dowolnej liczby całkowitej moduło 14 nie może wynieść 13. Rozpatrujemy 2 przypadek:

\(\displaystyle{ 3z+y=1 \Rightarrow y=1-3z}\)

\(\displaystyle{ x^2 = 14z-1}\)

Otrzymujemy identyczną sytuację, w której tak samo pokazujemy, że nie istnieją takie liczby całkowite. Stąd wynika, że jedynym rozwiązaniem równania, jest trójka liczb:

\(\displaystyle{ (x,y,z) = (7,4,1)}\)

Pozdrawiam.