Matematyka.pl

Mam do rozwiązania równanie diofantyczne drugiego stopnia stosując rozkład na czynniki \(\displaystyle{ 2x^2+3y-x-y^2+xy-1=0}\). Próbowałem na milion sposobów i nic, podobno trzeba jakoś lewą stronę zapisać w postaci \(\displaystyle{ (qx+wy+e)(rx+ty+u)}\) a wtedy stała się sama wyruguje, kompletnie nie mam pomysłu jak tego dokonać.

\(\displaystyle{ 2x^2-y^2+xy-x+3y-1=0}\)

Wyliczmy z tego \(\displaystyle{ y}\) :

\(\displaystyle{ y= \pm \frac{ \sqrt{9x^2+2x+5} }{2} + \frac{x+3}{2} }\)

łatwo zauważyć, że aby było rozwiązanie w liczbach całkowitych musi być rozwiązanie w całkowitych równania:


\(\displaystyle{ 9x^2+2x+5=t^2}\)

po wyliczeniu \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy:

\(\displaystyle{ x= \pm \frac{ \sqrt{9t^2-44} }{9} - \frac{1}{9} }\)

oczywiście, żeby powyższe równanie miało rozwiązanie w całkowitych musi mieć rozwiązanie w całkowitych równanie:

\(\displaystyle{ 9t^2-44=a^2}\)

lub:

\(\displaystyle{ (3t-a)(3t+a)=44}\)

co daje:

\(\displaystyle{ a= \pm 10 , t= \pm 4}\)

\(\displaystyle{ x=1 , y=0 \vee 4}\)

Jeśli lewa strona równania ma się zapisać jako \(\displaystyle{ (ax+by+c)(dx+ey+f)}\), to zgadzać się muszą części kwadratowe, tj.

\(\displaystyle{ 2x^2+xy-y^2 = (ax+by)(dx+ey)}\).

Taki wielomian łatwo rozłożyć na czynniki techniką jak dla równań kwadratowych, otrzymując

\(\displaystyle{ 2x^2 + xy - y^2 = (x+y)(2x-y)}\).

Teraz przyszła kolej na porównanie części liniowych:

\(\displaystyle{ c \cdot (2x-y) + f \cdot (x+y) = 3y-x}\),

a stąd \(\displaystyle{ c = -\frac{4}{3}}\) i \(\displaystyle{ f = \frac{5}{3}}\). Zatem szukanym rozkładem jest

\(\displaystyle{ \left( x+y-\frac{4}{3} \right) \left( 2x-y+\frac{5}{3} \right)}\).

Po wymnożeniu widzimy, że zgadza się wszystko oprócz stałej, ale to żaden problem - wystarczy przenieść resztę na prawą stronę, dostając

\(\displaystyle{ \left( x+y-\frac{4}{3} \right) \left( 2x-y+\frac{5}{3} \right) = -\frac{11}{9}}\).

Wystarczy pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ 9}\), by otrzymać całkowite współczynniki, a dalej powinieneś sobie poradzić.

Pięknie Tobie dziękuję Dasio11, właśnie o takie coś mi chodziło, wstawię wieczorem rozwiązanie jak wrócę do domu, pozdrawiam

Dodano po 4 dniach 20 godzinach 12 minutach 50 sekundach:
Rozwiązania wyszły mi takie same jak arkowi, dziękuję wam za pomoc.

Mam jeszcze takie jedno zagadnienie dot. ograniczania zbioru możliwych całkowitych rozwiązań i po prostu na chama liczenia tych przypadków.
Mam np. równanie \(\displaystyle{ 2a^2+5b^2=28}\) no to od razu widać, że musi być \(\displaystyle{ b^2<6\,\,\Rightarrow\,\,|b|\leq2}\) no więc mamy do sprawdzenia 5 przypadków (a w zasadzie 3) i po ptakach jak to mówią. Ale co w przypadku np. takiego równania \(\displaystyle{ (3x-1)(2y)=(4x)(y+1)}\), jak tutaj próbować rozsądnie to ograniczać?

Wymnóż, przenieś na jedną stronę i spróbuj zwinąć.

Zwinąłem Dasio, ale w rozwiązaniu nie każą mi korzystać z rozkładu na czynniki tak jak w poprzednim zadaniu, a z ograniczoności zbioru rozwiązań.

Dodano po 1 minucie 16 sekundach:
Zwijając to bardzo proste się staje, metodą rozkładu wiem jak to zrobić, tylko nie wiem jak to robić tą metodą ograniczania. Podałem w poprzednim wpisie anologon do takiego ograniczania, ale w tym przypadku nie wiem jak to ograniczenie tutaj stosować i z czego ono miałoby wynikać.

Może chodzi o coś à la: dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ 2xy}\) (odnotowując, by zerowe rozwiązania sprawdzić osobno), dostajemy

\(\displaystyle{ 3 - \frac{1}{x} = 2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{y} \right)}\).

Gdy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są dostatecznie duże, lewa strona jest bliska trójki, a prawa - dwójki, zatem równanie nie jest spełnione. Wystarczy zatem wyliczyć gdzie dokładnie zaczyna się to "dostatecznie duże", a potem ręcznie sprawdzić wszystkie pozostałe wartości, których jest skończenie wiele.

O super pomysł! Myślę, że to dobry trop. Myślę nad tym jak wyliczyć to "dostatecznie duże".

Przykładowo możesz znaleźć takie \(\displaystyle{ x_0, y_0 \in \mathbb{N}}\), że dla \(\displaystyle{ x \ge x_0}\) i \(\displaystyle{ y \ge y_0}\) jest

\(\displaystyle{ 2 \left( 1 + \frac{1}{y} \right) < \frac{5}{2} < 3 - \frac{1}{x}}\),

jak w definicji granicy.

Jak rozwiązałem te nierówności to dostaje nieograniczone obszary.

Dasio11 pisze: ↑18 kwie 2024, o 19:10 \(\displaystyle{ 3 - \frac{1}{x} = 2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{y} \right)}\)

Przekształć do \(x=1+\frac{2}{y-2}\) i masz ograniczenie do dzielników dwójki.

bosa_Nike pisze: ↑18 kwie 2024, o 22:50Przekształć do \(x=1+\frac{2}{y-2}\) i masz ograniczenie do dzielników dwójki.

To jednak zasadniczo identyczna metoda z opisaną na początku "wymnóż, uporządkuj i zwiń".

Kontynuując tę drugą metodę, dostajemy że każde rozwiązanie \(\displaystyle{ (x, y)}\) musi spełniać \(\displaystyle{ x \le 2}\) lub \(\displaystyle{ y \le 4}\). Możesz podstawić do równania te skończenie wiele wartości iksa i sprawdzić czy igrek wychodzi całkowity, a potem zrobić to samo w drugą stronę.

Czy mógłbym prosić Cię Dasio o dokończenie tego rozwiązania, a ja spróbuje zrobić następny przykład, bo jest bardzo podobny lecz inne dane są.

Dodano po 4 godzinach 9 minutach 2 sekundach:
jednak udało mnie się zrobić samemu, dziękuję Wam za pomoc!