Matematyka.pl

Plutonowy Maślanka wymnożył wszystkie dzielniki liczby \(\displaystyle{ n}\), zaś Sierżant Chudotłusty każdy dzielnik zwiększył o 1 i też wymnożył. Liczba Sierżanta okazała się być podzielna przez liczbę Plutonowego.
Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) jest to możliwe
Jak zmieni się odpowiedź, jeśli rozważać dzielniki właściwe (tj. różne od \(\displaystyle{ n}\) )

Czy aby na pewno chodziło o dzielniki? Czy może czynniki?
Załóżmy, że liczba składa się z czynników nieparzystych.
\(\displaystyle{ n_p= {p_{1}}^{k_1} \cdot {p_{2}}^{k_2}...}\)
Liczba dzielników to \(\displaystyle{ (k_1+1)(k_2+1)(...}\) - i wszystkie nieparzyste
Każdy z czynników iloczynu \(\displaystyle{ c_i}\) (mnożników i mnożnych) Sierżanta jest liczbą parzystą
Czyli stopień parzystości liczby Sierżanta jest co najmniej \(\displaystyle{ (k_1+1)(k_2+1)(...}\) - tego stopnia.
Każdy czynnik iloczynu Sierżanta można przedstawić jako \(\displaystyle{ c_{p_i}+1=2 \cdot c_{s_i}}\)
\(\displaystyle{ c_{s_i}= \frac{c_{p_i}+1}{2} \cdot }\)
Albo cała liczbę jako
\(\displaystyle{ n_s= 2 ^{(k_1+1)(k_2+1)(...} \cdot m_p}\)

Jak widać każdy z nowych czynników iloczynu sierżanta jest znacząco mniejszy od iloczynu czynników plutonowego. Co oznacza, że część nieparzysta iloczynu liczby sierżanta jest mniejsza od liczby plutonowego a więc nie może być dzielona bez reszty.

dla \(\displaystyle{ n_p}\) parzystego sprawa się komplikuje.