Przesumięcia
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Przesumięcia
Niech \(\displaystyle{ p>5}\) będzie liczbą pierwszą, a zbiór \(\displaystyle{ X}\) składa się z elementów \(\displaystyle{ p-n^2}\) gdzie \(\displaystyle{ n^2 <p}\). Udowodnić, że w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) istnieją elementy \(\displaystyle{ x \neq y}\) i \(\displaystyle{ x \neq 1}\) takie, że \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ y}\).
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Przesumięcia
Z obserwacji zauważyłem, że aby teza zadania była spełniona \(\displaystyle{ p }\)nie zawsze musi być pierwsze
np:
\(\displaystyle{ 27=3^2+18}\)
\(\displaystyle{ 27=5^2+2}\)
\(\displaystyle{ 2|18}\)
Ale póki co zostańmy przy pierwszych
Najpierw sobie rozpisywałem liczby pierwsze:
\(\displaystyle{ 7=1^2+6}\)
\(\displaystyle{ 7=2^2+3}\)
Od razu widać, że:
\(\displaystyle{ p>5}\) musi być
......................................
\(\displaystyle{ 13=1^2+12}\)
\(\displaystyle{ 13=3^2+4}\)
.........................................
\(\displaystyle{ 17=1^2+16}\)
\(\displaystyle{ 17=3^2+8}\)
.......................................
\(\displaystyle{ 23=3^2+14}\)
\(\displaystyle{ 23=4^2+7}\)
.......................................
\(\displaystyle{ 59=3^2+50}\)
\(\displaystyle{ 59=7^2+10}\)
Jak widać w każdym wypadku to działa, zauważyłem też, że każdy ten najmniejszy dzielnik \(\displaystyle{ k}\) gdzie:
\(\displaystyle{ p=m^2+k}\)
\(\displaystyle{ 1<k<2m}\)
zauważyłem też pewną prawidłowość a mianowicie:
\(\displaystyle{ k \cdot 2^s=a(2m-a), s=0,1,2,...}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\)
a skoro tak jest to:
\(\displaystyle{ k| p-(m-a)^2=p-m^2+2am-a^2=k+a(2m-a)=k+2^sk=0 \mod k}\)
Warunek, że: \(\displaystyle{ p}\) liczba pierwsza implikuje, że: \(\displaystyle{ (m,a)=1 \Rightarrow m \neq a}\)
Choć według mnie w zadaniu wystarczy założyć względną pierwszość...
Przykłady na przykład dla przypadku dla którego nie zachodzi teza:
\(\displaystyle{ 10=1^2+9}\)
\(\displaystyle{ 10=2^2+6}\)
\(\displaystyle{ 10=3^2+1}\)
..........................................
\(\displaystyle{ 12=1^2+11}\)
\(\displaystyle{ 12=2^2+8}\)
\(\displaystyle{ 12=3^2+3}\)
Jak widać sprawa rozbija się tu o względną pierwszość bardziej niż o samą pierwszość...
np:
\(\displaystyle{ 27=3^2+18}\)
\(\displaystyle{ 27=5^2+2}\)
\(\displaystyle{ 2|18}\)
Ale póki co zostańmy przy pierwszych
Najpierw sobie rozpisywałem liczby pierwsze:
\(\displaystyle{ 7=1^2+6}\)
\(\displaystyle{ 7=2^2+3}\)
Od razu widać, że:
\(\displaystyle{ p>5}\) musi być
......................................
\(\displaystyle{ 13=1^2+12}\)
\(\displaystyle{ 13=3^2+4}\)
.........................................
\(\displaystyle{ 17=1^2+16}\)
\(\displaystyle{ 17=3^2+8}\)
.......................................
\(\displaystyle{ 23=3^2+14}\)
\(\displaystyle{ 23=4^2+7}\)
.......................................
\(\displaystyle{ 59=3^2+50}\)
\(\displaystyle{ 59=7^2+10}\)
Jak widać w każdym wypadku to działa, zauważyłem też, że każdy ten najmniejszy dzielnik \(\displaystyle{ k}\) gdzie:
\(\displaystyle{ p=m^2+k}\)
\(\displaystyle{ 1<k<2m}\)
zauważyłem też pewną prawidłowość a mianowicie:
\(\displaystyle{ k \cdot 2^s=a(2m-a), s=0,1,2,...}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a}\)
a skoro tak jest to:
\(\displaystyle{ k| p-(m-a)^2=p-m^2+2am-a^2=k+a(2m-a)=k+2^sk=0 \mod k}\)
Warunek, że: \(\displaystyle{ p}\) liczba pierwsza implikuje, że: \(\displaystyle{ (m,a)=1 \Rightarrow m \neq a}\)
Choć według mnie w zadaniu wystarczy założyć względną pierwszość...
Przykłady na przykład dla przypadku dla którego nie zachodzi teza:
\(\displaystyle{ 10=1^2+9}\)
\(\displaystyle{ 10=2^2+6}\)
\(\displaystyle{ 10=3^2+1}\)
..........................................
\(\displaystyle{ 12=1^2+11}\)
\(\displaystyle{ 12=2^2+8}\)
\(\displaystyle{ 12=3^2+3}\)
Jak widać sprawa rozbija się tu o względną pierwszość bardziej niż o samą pierwszość...