Przedział a liczba
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
Przedział a liczba
Udowodnić, że w przedziale \(\displaystyle{ (2^n+1, 2^{n+1}-1) }\) gdy \(\displaystyle{ n>1}\) istnieje liczba, która jest sumą \(\displaystyle{ n}\) liczb pierwszych.
-
Samouk1
- Użytkownik
- Posty: 113
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 6 razy
Re: Przedział a liczba
A z postulatu Bertranda?
\(\displaystyle{ a = 2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^{n-n} = \frac{1-2^n}{-1} = 2^n - 1,}\)
dla \(\displaystyle{ n > 4}\) można dodać \(\displaystyle{ 3}\), bo liczby postaci \(\displaystyle{ 2^n}\) nie są pierwsze dla \(\displaystyle{ n>1,}\) więc \(\displaystyle{ a > 2^n+1.}\)
\(\displaystyle{ b = 2^n-1 + 2^{n-1}-1 + \ldots + 2^{n-n+1}-1 = 2 \cdot \frac{1-2^n}{-1}-n-1 = 2 \cdot (2^n-1) - n - 1 = 2^{n+1}-n-3 < 2^{n+1}-1.}\)
Dodano po 6 dniach 23 godzinach 53 minutach 52 sekundach:
Nie pomyliłem się?
\(\displaystyle{ a = 2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 2^{n-n} = \frac{1-2^n}{-1} = 2^n - 1,}\)
dla \(\displaystyle{ n > 4}\) można dodać \(\displaystyle{ 3}\), bo liczby postaci \(\displaystyle{ 2^n}\) nie są pierwsze dla \(\displaystyle{ n>1,}\) więc \(\displaystyle{ a > 2^n+1.}\)
\(\displaystyle{ b = 2^n-1 + 2^{n-1}-1 + \ldots + 2^{n-n+1}-1 = 2 \cdot \frac{1-2^n}{-1}-n-1 = 2 \cdot (2^n-1) - n - 1 = 2^{n+1}-n-3 < 2^{n+1}-1.}\)
Dodano po 6 dniach 23 godzinach 53 minutach 52 sekundach:
Nie pomyliłem się?
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
Re: Przedział a liczba
Być może chodziło o to, że istnieją liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_j}\) takie, że \(\displaystyle{ 2^{j-1} < p_j < 2^j}\) dla j>1...