Matematyka.pl

Czy wśród liczb \(\displaystyle{ 101, 10101, 1010101, ....}\) tj. z zerami i jedynkami na przemian (jedynka na początku i końcu) tylko \(\displaystyle{ p=101}\) jest pierwszą

http://www.matematyka.wroc.pl/book/edmind-niziurski-sposob-na-alcybiadesa

`1010101=1010000+101=101\cdot 10001` i takie ogonki można odcinać od każdej liczby postaci `X0X`, gdzie `X` jest wyrazem tego ciagu

Ogólnie łatwo zauważyć, że warunkiem koniecznym pierwszości takiej liczby jest by liczba jedynek w jej zapisie dziesiętnym była pierwsza.

Liczba z \(n+1\) jedynkami w zapisie dziesiętnym to $$10^{2n}+10^{2n-2}+...+1 = \frac{10^{2n+2}-1}{10^2-1} = \frac{\left(10^{n+1}+1\right)\left(10^{n+1}-1\right)}{10^2-1}$$ Dla \(n\) parzystego \(10^{n+1}+1\) jest podzielne przez \(11\), dla nieparzystego \(10^{n+1}-1\) jest podzielne przez \(11\). Równocześnie \(10^{n+1}-1\) jest podzielne przez \(9\). Stąd już widać, że dla \(n>1\), po skróceniu licznika z mianownikiem zostanie nam iloczyn dwóch liczb większych od \(1\).