Matematyka.pl

Próbuję zrozumieć i rozszerzyć dowód Widynskiego z tej publikacji: Ale nie za bardzo go czuję. Sekcja 5 - uniformity. Niedawno obejrzałem filmik: od 7:20. I nabiera to dla mnie sensu. Czy uważacie, że dowód Widynskiego jest poprawny? Czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć bardziej elementarnie? zwłaszcza pierwszy krok w którym mamy:

\(\displaystyle{ P(y) = \sum_{x=0}^{2^{n}-1} (P(x) \cdot P(weyl))}\)

Czy to jest poprawny zapis i dlaczego? To co ja chcę zrobić to obliczyć prawdopodobieństwo nie sumy, ale sumy mod 2. Czyli rozważamy element \(\displaystyle{ y}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0, 2^{n}-1]}\) i chcemy obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ y}\), gdzie \(\displaystyle{ y = x \oplus weyl}\). Dalej zapisujemy:

\(\displaystyle{ P(y) = \sum_{x=0}^{2^{n}-1} (P(x) \cdot P(weyl))}\)

Ale, czy mogę to tak zapisać? Dokładnie tak jak zrobił Widynski?

PS Widynski musi zakładać też, że prawdopodobieństwo weyl jest niezależne od x. W rzeczywistości tak nie jest bo x w jego generatorze zależy do weyl, ale to szczegół. Ta zależność jest niewykrywalna statystycznie, więc w praktyce możemy założyć niezależność.