Matematyka.pl

Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a>b>1}\) i \(\displaystyle{ n \geq 1}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) jest nieparzysta i \(\displaystyle{ a^n-1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ b^n}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ a^b > \frac{3^n}{n}}\) .

Coś mi się widzi, że to szacowanie jest dość grube...

Weźmy:

(*)\(\displaystyle{ a=\alpha b^n+r , (a,b)=1}\)

\(\displaystyle{ r^n= 1 \mod b^n}\)


\(\displaystyle{ a^n=1 \mod b^n}\)

zgodnie z (*):

wychodzi z tego, że:

\(\displaystyle{ n \cdot s=\phi(b^n) }\)

\(\displaystyle{ a^{ns} = \left( \alpha b^n+r\right)^{\phi(b^n)} /^{ \frac{1}{ns} }}\)

\(\displaystyle{ a = \left( \alpha b^n+r\right)^{ \frac{\phi(b^n)}{ns} } /^b}\)

\(\displaystyle{ a^b = \left( \alpha b^n+r\right)^{ \frac{b\phi(b^n)}{ns} } }\)

I teraz jak tę ostatnią prawą stronę zechcemy maksymalnie zminimalizować to trzeba przyjąć, że:

\(\displaystyle{ \alpha , r=1, b=3}\)

a ponieważ \(\displaystyle{ b}\) nie ma dzielników parzystych i każdy dzielnik pierwszy: \(\displaystyle{ \ge 3}\)

to:

\(\displaystyle{ \phi(b^n) \ge 3^{n-1} \cdot 2}\)

czyli cały wykładnik:

\(\displaystyle{ \frac{b\phi(b^n)}{ns} \ge \frac{3 \cdot 3^{n-1} \cdot 2}{ns} = \frac{2 \cdot 3^n}{ns}>1 }\)

co da nam:

\(\displaystyle{ a^b \ge \left( \alpha b^n+r\right)^{ \frac{b\phi(b^n)}{ns} } \ge \left( 3^n+1\right)^{\frac{2 \cdot 3^n}{ns}} \ge 1+ \frac{2 \cdot 3^{2n}}{ns} >\frac{3^n}{n} }\)

przed-ostatnia nierówność z Bernoulliego...

Więc dlatego to szacowanie wydaje się za grube...


Przykład:

\(\displaystyle{ a=8, b=3, n=2 , s=3}\)

\(\displaystyle{ \phi(3^2)=3 \cdot 2=6}\)

\(\displaystyle{ 8^2-1=0 \mod 3^2}\)

więc:

\(\displaystyle{ a^b=8^3> \frac{3^2}{2} }\)

Grubo...