Matematyka.pl

Pokaż, że żadna liczba wymierna postaci \(\displaystyle{ \frac{3}{7^n} }\) nie jest sumą dwóch ułamków prostych.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Co to są ułamki proste?

No ok, ułamek prosty to ułamek postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{x} }\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą, różna od zera. No to w takim razie zakładając nie wprost mamy \(\displaystyle{ \frac{3}{7^n}= \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} }\) dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a,b}\). No czyli z tego dostajemy: \(\displaystyle{ 3ab=7^n(a+b)}\), no, ale nie wiem jak z tego dostać sprzeczność?

Niech `a=7^Ax`, `b=7^By`. Co możesz powiedzieć o `A,B`?

Hmm, no wówczas dostaję
\(\displaystyle{ 3 \cdot 7^{A+B}xy=7^n(7^Ax+7^By)}\)
i teraz pewnie jakoś trzeba wywnioskować, że w rozkładzie po lewej i prawej stronie jest różna liczba siódemek, ale nie wiem do końca jak to zrobić.

No to pomyśl