Pokaż, że nie istnieją parami różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1, . . . , p_n}\), których suma odwrotności jest liczbą całkowitą.
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Pokaż, że nie istnieją parami różne liczby
-
max123321
- Użytkownik
- Posty: 3396
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Pokaż, że nie istnieją parami różne liczby
No dobra jak piszesz, że banalne to spróbuję tak:
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \frac{1}{p_1}+ \frac{1}{p_2}+...+ \frac{1}{p_n}=z }\), dla jakiegoś całkowitego \(\displaystyle{ z}\). Wówczas po przemnożeniu przez te wszystkie liczby pierwsze obu stron równania otrzymamy:
\(\displaystyle{ p_2p_3...p_n+p_1p_3...p_n+...+p_1p_2...p_{n-1}=zp_1p_2...p_n}\) no i teraz taka obserwacja. Prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ p_1}\), a lewa nie bo \(\displaystyle{ n-1}\) składników tej sumy po lewej dzieli się przez \(\displaystyle{ p_1}\), a jeden ten pierwszy się nie dzieli. Czyli sprzeczność, czyli nie istnieją takie liczby.
Czy tak jest dobrze?
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \frac{1}{p_1}+ \frac{1}{p_2}+...+ \frac{1}{p_n}=z }\), dla jakiegoś całkowitego \(\displaystyle{ z}\). Wówczas po przemnożeniu przez te wszystkie liczby pierwsze obu stron równania otrzymamy:
\(\displaystyle{ p_2p_3...p_n+p_1p_3...p_n+...+p_1p_2...p_{n-1}=zp_1p_2...p_n}\) no i teraz taka obserwacja. Prawa strona dzieli się przez \(\displaystyle{ p_1}\), a lewa nie bo \(\displaystyle{ n-1}\) składników tej sumy po lewej dzieli się przez \(\displaystyle{ p_1}\), a jeden ten pierwszy się nie dzieli. Czyli sprzeczność, czyli nie istnieją takie liczby.
Czy tak jest dobrze?