Podzielność sumy

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Podzielność sumy

Post autor: mol_ksiazkowy »

Udowodnić, że wśród \(\displaystyle{ 4k^2+1}\) liczb całkowitych jest \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich liczb, których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2k+1.}\)
Ostatnio zmieniony 29 sty 2023, o 18:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Podzielność sumy

Post autor: kerajs »

Każdej liczbie przypisuję jej resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2k+1}\) dostając \(\displaystyle{ 4k^2+1}\) liczb naturalnych ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,...,2k\right\} }\).
Wiadomo, że suma \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich samych reszt oraz taka suma parami różnych reszt jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2k+1}\).
Największy zbiór nie zawierający \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich samych reszt oraz nie zawierający \(\displaystyle{ 2k+1}\) parami różnych reszt składa się \(\displaystyle{ 2k}\) zbiorów zawierających identyczne reszty, czyli jego liczność to \(\displaystyle{ 4k^2}\). Ponieważ reszt jest \(\displaystyle{ 4k^2+1}\) to wśród nich muszą być wszystkie reszty lub co najmniej \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich samych reszt, co dowodzi tezy zadania.
ODPOWIEDZ