Matematyka.pl

Udowodnić, że wśród \(\displaystyle{ 4k^2+1}\) liczb całkowitych jest \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich liczb, których suma jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2k+1.}\)

Każdej liczbie przypisuję jej resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2k+1}\) dostając \(\displaystyle{ 4k^2+1}\) liczb naturalnych ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,...,2k\right\} }\).
Wiadomo, że suma \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich samych reszt oraz taka suma parami różnych reszt jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2k+1}\).
Największy zbiór nie zawierający \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich samych reszt oraz nie zawierający \(\displaystyle{ 2k+1}\) parami różnych reszt składa się \(\displaystyle{ 2k}\) zbiorów zawierających identyczne reszty, czyli jego liczność to \(\displaystyle{ 4k^2}\). Ponieważ reszt jest \(\displaystyle{ 4k^2+1}\) to wśród nich muszą być wszystkie reszty lub co najmniej \(\displaystyle{ 2k+1}\) takich samych reszt, co dowodzi tezy zadania.