Pierwsze sumy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11416
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Pierwsze sumy
Wyznaczyć największe możliwe \(\displaystyle{ n}\) takie, że istnieją liczby pierwsze \(\displaystyle{ p_1,....,p_n}\) (niekoniecznie różne) takie, że \(\displaystyle{ p_1, p_1+p_2, p_1+p_2+p_3, ...., p_1+p_2+....+p_n}\) też są pierwsze.
-
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Pierwsze sumy
Jeśli mówimy tylko o dodatnich to mój tok rozumowania jest taki:
- jeśli suma \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) ma być liczbą pierwszą, to jedna z nich, powiedzmy \(\displaystyle{ p_1}\) musi być równa \(\displaystyle{ 2}\), bo suma dwóch nieparzystych nie da pierwszej
- zakładamy więc \(\displaystyle{ p_1 = 2}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) nieparzysta pierwsza
- skoro ich suma jest liczbą pierwszą, tzn. \(\displaystyle{ p_2 + 2}\) jest liczbą pierwszą, to znaczy, że \(\displaystyle{ p_2}\) należy do pary liczb bliźniaczych (pierwszych oddalonych o 2)
- skoro suma \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) oraz \(\displaystyle{ p_3}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p_3}\) nie może być nieparzysta, bo suma wyjdzie parzysta, ale skoro \(\displaystyle{ p_3}\) musi być liczbą pierwszą, to znaczy, że \(\displaystyle{ p_3 = 2}\) ale to też oznacza, że \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) i \(\displaystyle{ p_1 + p_2 + p_3}\) są liczbami bliźniaczymi, czyli \(\displaystyle{ p_2 + 2}\) oraz \(\displaystyle{ p_2 + 4}\) ale to by sugerowało, że istnieje seria trzech liczb pierwszych oddalonych od siebie co \(\displaystyle{ 2}\) a to jest niemożliwe, bo dla trzech kolejnych nieparzystych liczb przynajmniej jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)
- wniosek: maksymalne \(\displaystyle{ n = 2}\)
- jeśli suma \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) ma być liczbą pierwszą, to jedna z nich, powiedzmy \(\displaystyle{ p_1}\) musi być równa \(\displaystyle{ 2}\), bo suma dwóch nieparzystych nie da pierwszej
- zakładamy więc \(\displaystyle{ p_1 = 2}\) i \(\displaystyle{ p_2}\) nieparzysta pierwsza
- skoro ich suma jest liczbą pierwszą, tzn. \(\displaystyle{ p_2 + 2}\) jest liczbą pierwszą, to znaczy, że \(\displaystyle{ p_2}\) należy do pary liczb bliźniaczych (pierwszych oddalonych o 2)
- skoro suma \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) oraz \(\displaystyle{ p_3}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ p_3}\) nie może być nieparzysta, bo suma wyjdzie parzysta, ale skoro \(\displaystyle{ p_3}\) musi być liczbą pierwszą, to znaczy, że \(\displaystyle{ p_3 = 2}\) ale to też oznacza, że \(\displaystyle{ p_1 + p_2}\) i \(\displaystyle{ p_1 + p_2 + p_3}\) są liczbami bliźniaczymi, czyli \(\displaystyle{ p_2 + 2}\) oraz \(\displaystyle{ p_2 + 4}\) ale to by sugerowało, że istnieje seria trzech liczb pierwszych oddalonych od siebie co \(\displaystyle{ 2}\) a to jest niemożliwe, bo dla trzech kolejnych nieparzystych liczb przynajmniej jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)
- wniosek: maksymalne \(\displaystyle{ n = 2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Pierwsze sumy
No dobra, mój główny argument o podzielności przez 3 w tej jednej sytuacji ma sens, masz słusznego w tym, ale wyżej nie podbijesz już zgodnie z tym co napisałem