Piątki w kwadracie

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11200
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3136 razy
Pomógł: 744 razy

Piątki w kwadracie

Post autor: mol_ksiazkowy »

Czy istnieją liczby trzy badz więcej cyfrowe, których wszystkie cyfry - oprócz jednej są piątkami i które są kwadratami liczb całkowitych ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Piątki w kwadracie

Post autor: kerajs »

Takie liczby nie istnieją.

1.Piątka na miejscu jedności wymusza dwójkę na miejscu dziesiątek i cyfrę parzystą na miejscu setek.
\(\displaystyle{ (10k+5)^2=100k(k+1)+25}\)
2. Na miejscu jedności nie może być 2, 3, 7 lub 8 gdyż kwadraty nie kończą się takimi cyframi.
3. Na miejscu jedności nie może być zero gdyż wymusza ono zero na miejscu dziesiątek.
4. Na miejscu jedności nie może być jedynka lub dziewiątka gdyż wtedy cyfra dziesiątek jest parzysta.
\(\displaystyle{ (10k \pm 1)^2=100k^2 \pm 20k+1}\)
5. Na miejscu jedności nie może być czwórka, gdyż liczba kończąca się na 54 jest parzysta, ale nie jest podzielna przez 4, więc nie może być kwadratem.
6. Liczba n cyfrowa kończy się cyfrą 6:
\(\displaystyle{ 5..56=5..55+1= \frac{5(10^n-1)}{9}+1=\frac{5 \cdot 10^n+4}{9} }\)
Jeśli ta liczba jest kwadratem to mianownik ułamka także:
\(\displaystyle{ 5 \cdot 10^n+4=a^2\\
5^{n+1}2^{n}=(a-2)(a+2)}\)

Czynniki prawej strony muszą być parzyste, lecz nie mogą równocześnie być podzielne przez 10.
Oznacza to że czynnik zawierający \(\displaystyle{ 5^{n+1}}\) jest dużo większy od drugiego, a przecież powinny się różnić zaledwie o 4. Ergo, liczba z treści zadania z 6 na miejscu jedności nie istnieje.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22153
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Piątki w kwadracie

Post autor: a4karo »

Albo tak:
\(\displaystyle{ 55\dots525=5\cdot11\dots105=5\cdot(11\dots1\cdot 100+5)\\
=25\cdot(11...1\cdot20+1)=25\cdot 22\dots21}\)


Uzasadnię, że \(\displaystyle{ 222\dots21}\) nie może być kwadratem. Gdyby było inaczej to albo
\(\displaystyle{ 222\dots21=(10k+1)^2}\) co daje \(\displaystyle{ 11\dots1=k(5k+1)}\)
albo
\(\displaystyle{ 222\dots21=(10k+9)^2}\) co daje \(\displaystyle{ 11\dots1=k(5k+9)}\)

i obie te rzeczy są niemożliwe, bo prawe strony są parzyste.
ODPOWIEDZ