Matematyka.pl

Czy istnieją liczby trzy badz więcej cyfrowe, których wszystkie cyfry - oprócz jednej są piątkami i które są kwadratami liczb całkowitych ?

Takie liczby nie istnieją.

1.Piątka na miejscu jedności wymusza dwójkę na miejscu dziesiątek i cyfrę parzystą na miejscu setek.
\(\displaystyle{ (10k+5)^2=100k(k+1)+25}\)
2. Na miejscu jedności nie może być 2, 3, 7 lub 8 gdyż kwadraty nie kończą się takimi cyframi.
3. Na miejscu jedności nie może być zero gdyż wymusza ono zero na miejscu dziesiątek.
4. Na miejscu jedności nie może być jedynka lub dziewiątka gdyż wtedy cyfra dziesiątek jest parzysta.
\(\displaystyle{ (10k \pm 1)^2=100k^2 \pm 20k+1}\)
5. Na miejscu jedności nie może być czwórka, gdyż liczba kończąca się na 54 jest parzysta, ale nie jest podzielna przez 4, więc nie może być kwadratem.
6. Liczba n cyfrowa kończy się cyfrą 6:
\(\displaystyle{ 5..56=5..55+1= \frac{5(10^n-1)}{9}+1=\frac{5 \cdot 10^n+4}{9} }\)
Jeśli ta liczba jest kwadratem to mianownik ułamka także:
\(\displaystyle{ 5 \cdot 10^n+4=a^2\\
5^{n+1}2^{n}=(a-2)(a+2)}\)
Czynniki prawej strony muszą być parzyste, lecz nie mogą równocześnie być podzielne przez 10.
Oznacza to że czynnik zawierający \(\displaystyle{ 5^{n+1}}\) jest dużo większy od drugiego, a przecież powinny się różnić zaledwie o 4. Ergo, liczba z treści zadania z 6 na miejscu jedności nie istnieje.

Albo tak:
\(\displaystyle{ 55\dots525=5\cdot11\dots105=5\cdot(11\dots1\cdot 100+5)\\
=25\cdot(11...1\cdot20+1)=25\cdot 22\dots21}\)

Uzasadnię, że \(\displaystyle{ 222\dots21}\) nie może być kwadratem. Gdyby było inaczej to albo
\(\displaystyle{ 222\dots21=(10k+1)^2}\) co daje \(\displaystyle{ 11\dots1=k(5k+1)}\)
albo
\(\displaystyle{ 222\dots21=(10k+9)^2}\) co daje \(\displaystyle{ 11\dots1=k(5k+9)}\)

i obie te rzeczy są niemożliwe, bo prawe strony są parzyste.