Matematyka.pl

Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }}\) jest liczbą niewymierną.

muszę przyznać że zastanowiło mnie to zadanie i spróbowałem je rozwiązać.. jest to tylko propozycja rozwiązania, bo nie jestem pewien czy formalnie matematycznie będzie to ładne, dobrze jakby ktoś mądrzejszy potwierdził.. ale do rzeczy.. nie ma tak łatwo jak z udowodnieniem niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), więc ja zacząłem kombinować inaczej..

\(\displaystyle{ x=\sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }}\)

znajdźmy wielomian o współczynnikach całkowitych dla którego ta liczba jest jego pierwiastkiem (to będzie chyba zahaczało o dowód nie wprost), będziemy tak podnosić do kwadratu stronami aby znosić pierwiastki po kolei..

\(\displaystyle{ x^{2}=2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} }}\)

\(\displaystyle{ (x^{2}-2)^{2}= 3+ \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{2}+4= 3+ \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{2}+1= \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ (x^{4}-4x^{2}+1)^{2}= 5}\)

\(\displaystyle{ x^{8}-8x^{6}+18x^{4}-8x^{2}+1=5}\)

\(\displaystyle{ x^{8}-8x^{6}+18x^{4}-8x^{2}-4=0}\)

w ten sposób możemy skorzystać z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.. kandydatami będą liczby: \(\displaystyle{ \left\{ \pm 1; \pm 2; \pm 4\right\}}\). Chyba nieistotne czy faktycznie są one tymi pierwiastkami (pewnie nie), ale to nam mówi że jedynymi możliwymi pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu są wspomniane liczby całkowite. Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }}\) całkowita nie jest, bo nie jest pierwiastkiem kwadratu.. W takim razie liczba ta nie jest wymierna.. cbdu? Ma ktoś lepszy pomysł?

adambak pisze:[...]Ma ktoś lepszy pomysł?

Tak, wystarczą 2 lematy, lemma1: Jeżeli x jest niewymierne, to \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) również jest niewymierne, dowód prosty nie wprost. Lemma2: Suma liczby niewymiernej i wymiernej jest liczbą niewymierną, dowód również nie wprost, korzystając z powyższych lematów, wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) jest niewymierny.

Pozdrawiam.

no, nawet dużo lepszy pomysł a Vax, nie przeczysz znaczy że nie ma błędu w moim rozumowaniu? tak się chcę upewnić, żeby na przyszłość wiedzieć czy takie kombinowanie ma sens..

Pozdrawiam.

Jest ok, tylko, że przydałoby się przy podnoszeniu równań do kwadratu wyznaczać dziedzinę (na początku \(\displaystyle{ x \ge 0}\) potem \(\displaystyle{ x^2-2 \ge 0}\) itd..) ponieważ po prawej mamy liczbę dodatnią, więc po lewej też musimy mieć, np \(\displaystyle{ -2 \neq 2}\) co jest prawdą, ale po podniesieniu do kwadratu mamy \(\displaystyle{ 4 \neq 4}\) czyli sprzeczność

Pozdrawiam.

ok, wporządku, dzięki

Vax pisze:Jest ok, tylko, że przydałoby się przy podnoszeniu równań do kwadratu wyznaczać dziedzinę (na początku \(\displaystyle{ x \ge 0}\) potem \(\displaystyle{ x^2-2 \ge 0}\) itd..) ponieważ po prawej mamy liczbę dodatnią, więc po lewej też musimy mieć, np \(\displaystyle{ -2 \neq 2}\) co jest prawdą, ale po podniesieniu do kwadratu mamy \(\displaystyle{ 4 \neq 4}\) czyli sprzeczność
Pozdrawiam.

Równości zawsze można podnosić do kwadratu stronami. Nie popełnił błędu adambak, bo interesowały go tylko implikacje w jedną stronę. Udowodnił, że jeśli \(\displaystyle{ x=\sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }}\), to \(\displaystyle{ x^{8}-8x^{6}+18x^{4}-8x^{2}-4=0}\).

Innymi słowami, liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^{8}-8x^{6}+18x^{4}-8x^{2}-4}\).

-- 30 mar 2011, o 12:18 --

Jedyne, co budzi wątpliwości, to stwierdzenie:

adambak pisze:Liczba \(\displaystyle{ \sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }}\) całkowita nie jest,

Moim zdaniem nie jest to dostatecznie uzasadnione. Można to pokazać tak: \(\displaystyle{ 2<\sqrt{2+ \sqrt{3+ \sqrt{5} } }<3}\).

Rozwiązanie Vaxa jest zdecydowanie prostsze. Jest też łatwiejsze do uogólnienia.