Matematyka.pl

Udowodnij nierówność trójkąta:
\(\displaystyle{ \forall x,y\in \RR: |x+y| \le |x|+|y|}\).

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \forall x,y\in \RR: xy\le |xy|}\), co jest równoważne \(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2\le x^2+2|xy|+y^2}\), co z kolei jest równoważne
\(\displaystyle{ |x+y|^2\le (|x|+|y|)^2(*)}\) i teraz widzimy, że skoro \(\displaystyle{ 0\le|x+y|}\) oraz \(\displaystyle{ 0\le|x|+|y|}\), to możemy spierwiastkować nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) bez zmiany znaku, skąd mamy \(\displaystyle{ |x+y|\le|x|+|y|}\), czyli to co trzeba było pokazać.

Dobrze?

Dodano po 7 dniach 14 godzinach 3 sekundach:
Czy może się ktoś wypowiedzieć?

Podaj jeszcze kiedy jest równość

Ok, jeśli ma być \(\displaystyle{ |x+y|=|x|+|y|}\), to powinno też być \(\displaystyle{ x^2+2xy+y^2=x^2+|xy|+y^2}\), czyli \(\displaystyle{ xy=|xy|}\), a to jest możliwe tylko wówczas, gdy \(\displaystyle{ x\ge 0 \wedge y\ge 0}\) lub \(\displaystyle{ x\le 0 \wedge y\le 0}\), czyli gdy \(\displaystyle{ x,y}\) są jednakowego znaku.

Dobrze?