Matematyka.pl

Czy prawdą jest, że dla prawie wszystkich n zachodzi: \(\displaystyle{ p_n > n^2}\), gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) to n-ta liczba pierwsza?

Czy ktoś mógłby mnie naprowadzić jak to robić?
zaczęłam sobie rozpisywać dla kolejnych liczb pierwszych i tak:
dla n=1 \(\displaystyle{ 2>1^2 =1}\)
dla n=2 \(\displaystyle{ 3>2^2=4}\) sprzeczność
dla n=3 \(\displaystyle{ 5>3^2 =9}\) sprzeczność
...

zatem prawdopodobnie nierówność będzie fałszywa, czy mam dobrą intuicję? Jak tego formalnie dowieźć?

Można pokazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{1} }^{ \infty }\frac{1}{p _{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ p _{n}}\) to n-ta liczba pierwsza, jest rozbieżny. Z analizy zapewne wiesz, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{2} }}\) jest zbieżny. Można z tego wywnioskować, że począwszy od pewnego n, zachodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{p _{n} }> \frac{1}{n^2} \Rightarrow p _{n}<n^2}\)

Sebaall pisze:Można pokazać, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{1} }^{ \infty }\frac{1}{p _{n}}}\), gdzie \(\displaystyle{ p _{n}}\) to n-ta liczba pierwsza, jest rozbieżny. Z analizy zapewne wiesz, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{n ^{2} }}\) jest zbieżny. Można z tego wywnioskować, że począwszy od pewnego n, zachodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{p _{n} }> \frac{1}{n^2} \Rightarrow p _{n}<n^2}\)

To jest niepoprawny dowód. Uzasadnij ostatni wiosek.

Po dłuższym zastanowieniu, jedyne co bym zmienił, to dał, że dla prawie wszystkich n zachodzi ta nierówność( a nie od pewnego n), a wydaje mi się ona oczywista i nawet nie wiem jakby to uzasadnić dodatkowo.

Nie dla prawie wszystkich. Z Twojego rozumowania wynika, że dla nieskończenie wielu. To nie jest to samo.

Sebaall pisze:Po dłuższym zastanowieniu, jedyne co bym zmienił, to dał, że dla prawie wszystkich n zachodzi ta nierówność( a nie od pewnego n), a wydaje mi się ona oczywista i nawet nie wiem jakby to uzasadnić dodatkowo.

Niestety, w tej wersji to również nie jest prawda. Pokaż dowód, skoro jest taki oczywisty.

Skoro \(\displaystyle{ \frac{1}{p _{n} }}\) jest rozbieżny, to ciąg\(\displaystyle{ \frac{1}{p _{n} }}\) zbiega na tyle wolno do 0, że w sumie nie daje on skończonej granicy szeregu, w przeciwieństwie do \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\) I z tego wywnioskowałem, to co wywnioskowałem, ale widzę teraz, że to nie ma za bardzo rąk i nóg.
Z chęcią zobaczę poprawny dowód.

Tutaj nie ma wyjścia, trzeba pokazać coś nietrywialnego na temat \(\displaystyle{ \pi(x)}\). Wystarczy np. że \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{\pi(x)}\to 0}\). Chociaż nie wiem czy da się to łatwiej pokazać, niż szacowanie \(\displaystyle{ \pi(x)>c\frac{x}{\ln x}}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ c>0}\).