Niepodzielność
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11495
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3159 razy
- Pomógł: 749 razy
Niepodzielność
Udowodnić, ze \(\displaystyle{ n!+ 1 }\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n+2}\) .
- Hir
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 7 mar 2024, o 21:07
- Płeć: Kobieta
- wiek: 29
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 25 razy
Re: Niepodzielność
Nie mam rozwiązania, ale dołożę coś od siebie: czy istnieje takie naturalne \(\displaystyle{ n}\), że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ n! + 1 }\) przez \(\displaystyle{ n+2}\) była różna od \(\displaystyle{ 3, 2, 1}\)? Takie reszty są osiągalne na przykład przez \(\displaystyle{ n = 2, 3, 4}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1596
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Niepodzielność
załóżmy, że jednak się dzieli, wówczas
\(\displaystyle{
n! + 1 = k(n +2)\\
n! = kn + 2k -1
}\)
lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) więc prawa też musi, a to znaczy, że \(\displaystyle{ 2k-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\) a skoro \(\displaystyle{ 2k-1}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ n}\) też musi być nieparzyste i dalej z \(\displaystyle{ n! = kn + 2k -1}\) wynika że \(\displaystyle{ k}\) też musi być nieparzyste (bo silnia będzie parzysta) i \(\displaystyle{ 2k = 1 \mod n}\)
\(\displaystyle{
n! + 1 = k(n +2)\\
n! = kn + 2k -1
}\)
lewa strona jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\) więc prawa też musi, a to znaczy, że \(\displaystyle{ 2k-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\) a skoro \(\displaystyle{ 2k-1}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ n}\) też musi być nieparzyste i dalej z \(\displaystyle{ n! = kn + 2k -1}\) wynika że \(\displaystyle{ k}\) też musi być nieparzyste (bo silnia będzie parzysta) i \(\displaystyle{ 2k = 1 \mod n}\)
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Niepodzielność
Niech \(\displaystyle{ n+2}\) będzie liczbą złożoną, wówczas można zapisać \(\displaystyle{ n+2 = d_1d_2.}\) Obydwa dzielniki \(\displaystyle{ d_1, d_2}\) (mogą być sobie równe) są mniejsze niż \(\displaystyle{ n}\) (dla \(\displaystyle{ n>2}\)), zatem \(\displaystyle{ n+2=d_1d_2}\) dzieli \(\displaystyle{ n!}\), a więc jest niepodzielne przez \(\displaystyle{ n!+1}\) (reszta \(\displaystyle{ 1}\)).
Niech teraz liczba \(\displaystyle{ n+2}\) będzie liczbą pierwszą, to możemy skorzystać z twierdzenia Wilsona, że \(\displaystyle{ (n+1)!+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n+2}\). Zatem istnieje naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie, że \(\displaystyle{ (n+1)!+1-(n!+1) = k(n+2)}\)
\(\displaystyle{ (n+1)!+1-(n!+1) = n!(n+1-1) = n!n,}\) \(\displaystyle{ n+2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n}\), ani \(\displaystyle{ n!}\) (bo jest pierwsze), co kończy dowód.
Niech teraz liczba \(\displaystyle{ n+2}\) będzie liczbą pierwszą, to możemy skorzystać z twierdzenia Wilsona, że \(\displaystyle{ (n+1)!+1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n+2}\). Zatem istnieje naturalne \(\displaystyle{ k}\), takie, że \(\displaystyle{ (n+1)!+1-(n!+1) = k(n+2)}\)
\(\displaystyle{ (n+1)!+1-(n!+1) = n!(n+1-1) = n!n,}\) \(\displaystyle{ n+2}\) nie dzieli \(\displaystyle{ n}\), ani \(\displaystyle{ n!}\) (bo jest pierwsze), co kończy dowód.