Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ m, n \in \ZZ}\) będą względnie pierwsze. Wyznacz
\(\displaystyle{ NWD(5^m+7^m,5^n+7^n).}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Dodano po 1 dniu 13 godzinach 55 minutach 19 sekundach:
Czy może mi ktoś z tym pomóc?

Dodano po 2 godzinach 38 minutach 25 sekundach:
Jak to ugryźć?
Ostatnio zmieniony 5 lis 2022, o 01:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: arek1357 »

Sprawdź sobie, że:

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \mod 2}\)

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \vee 2 \mod 4}\)

\(\displaystyle{ 5^n+7^n \neq 0 \mod 8}\)

Więc kandydatami na NWD może być 2 lub 4
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

arek1357 pisze: 17 gru 2022, o 21:48 Więc kandydatami na NWD może być 2 lub 4
A co z nieparzystymi dzielnikami? Jakoś przegapiłem to w Twoim rozwiązaniu albo tego nie napisałeś.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: arek1357 »

jakie np?

Dodano po 4 godzinach 1 minucie 32 sekundach:
Jeżeli założysz, że istnieje takie \(\displaystyle{ p \neq 2}\) pierwsze

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \mod p}\)

i

\(\displaystyle{ 5^m+7^m=0 \mod p}\)

oraz:

\(\displaystyle{ (n,m)=1}\)

Masz z pierwszego:

\(\displaystyle{ 7^n=-5^n}\)

a do tego skoro n,m względnie pierwsze mamy:

\(\displaystyle{ \alpha n+\beta m=1}\)

(*) \(\displaystyle{ \beta m=1-\alpha n}\)

i teraz zabawa:

\(\displaystyle{ 5^n=-7^n/^{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 5^{\alpha n}=(-1)^{\alpha}7^{\alpha n}}\)

to samo:

\(\displaystyle{ 5^{\beta m}=(-1)^{\beta}7^{\beta m}}\)

po podstawieniu (*) mamy:

\(\displaystyle{ 5 \cdot \frac{1}{5^{\alpha n}} =(-1)^{\beta} \cdot 7 \cdot \frac{1}{7^{\alpha n}}}\)

Po skróceniu otrzymasz:

\(\displaystyle{ 5=(-1)^{\alpha +\beta} \cdot 7}\)

I co z tego otrzymujesz, że:

\(\displaystyle{ 5=7 \vee 5=-7}\)

Jedno i drugie prowadzi do sprzeczności...

Milcząco zakładałem, że:

\(\displaystyle{ p \neq 5 \wedge p \neq 7}\)

jeżeli założysz, że np.:

\(\displaystyle{ p=5}\)

Też będzie jawna sprzeczność...

Czy coś jeszcze?

Oczywiście zadania specjalnie nie skończyłem, żeby autor też coś pomyślał, jednak przez swoje trzy grosze nie pozwoliłeś, żeby autor sobie to zadanie do końca rozwiązał, co nie było do końca moim celem... no ale inni wiedzą lepiej...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: a4karo »

arek1357 pisze: 18 gru 2022, o 23:22 jakie np?

Dodano po 4 godzinach 1 minucie 32 sekundach:
Jeżeli założysz, że istnieje takie \(\displaystyle{ p \neq 2}\) pierwsze

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \mod p}\)

i

\(\displaystyle{ 5^m+7^m=0 \mod p}\)

oraz:

\(\displaystyle{ (n,m)=1}\)

Masz z pierwszego:

\(\displaystyle{ 7^n=-5^n}\)

a do tego skoro n,m względnie pierwsze mamy:

\(\displaystyle{ \alpha n+\beta m=1}\)

(*) \(\displaystyle{ \beta m=1-\alpha n}\)

i teraz zabawa:

\(\displaystyle{ 5^n=-7^n/^{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 5^{\alpha n}=(-1)^{\alpha}7^{\alpha n}}\)

to samo:

\(\displaystyle{ 5^{\beta m}=(-1)^{\beta}7^{\beta m}}\)

po podstawieniu (*) mamy:

\(\displaystyle{ 5 \cdot \frac{1}{5^{\alpha n}} =(-1)^{\beta} \cdot 7 \cdot \frac{1}{7^{\alpha n}}}\)

W tej zabawie się chyba trochę zapędziłeś - ułamki słabo przystają modulo
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: arek1357 »

Nie bardzo cię rozumiem...przecież jest to ciało i mogę tworzyć ułamki...

czy zapiszę coś tak: \(\displaystyle{ a^{-n} }\)

czy tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^n} }\)

To według przesłanek jest to to samo...w ciele skończonym...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: a4karo »

Podejrzewam, że nie wiesz na jakim poziomie autor posta opanował matematykę
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Niech liczby m,n będą względnie pierwsze

Post autor: arek1357 »

No właśnie może się pogubiłem ale może temat pociągniesz poupraszczasz...Bo sam nie wiem co może być i jak autor zareaguje

Dodano po 3 godzinach 13 minutach 55 sekundach:
Najlepiej jak sam autor się wypowie...

Dodam tylko od siebie, że ciało jest to dość fajna struktura w której można produkować ułamki a mówiąc językiem zrozumiałym każdy element ma swój odwrotny oprócz zera...

Gorzej jest w pierścieniu bo pojawią się prawie na pewno dzielniki zera i ułamka a więc odwrotności już tak łatwo nie wyprodukuję, no chyba,
że wezmę elementy odwracalne ale to już kłopot...
Z tego względu wziąłem liczbę pierwszą a nie dowolną nieparzystą co dało mi większe możliwości...
I z kolejnych wiadomości dla autora to to, że pierścienie są strukturami czasem dość pokracznymi w stosunku do ciała...
ODPOWIEDZ