Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a, b}\) będą dodatnimi liczbami całkowitymi o tej własności, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}> \sqrt{2} }\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}- \frac{1}{2ab}> \sqrt{2} }\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Max, przecież ty nawet nie zastanawiasz się nad tymi zadaniami, tylko masowo je tu wrzucasz. Po co?

Znaczy najpierw wrzuciłem te zadania, a później zacząłem się nad nimi zastanawiać. Chcę je zrobić, ale niektóre są dość trudne. Na przykład to zadanie to nie wiem jak ugryźć. Możesz dać jakąś wskazówkę?

Wlog \(\displaystyle{ a,b \ge 1}\). Nie wprost. Zatem \(\displaystyle{ a- \frac{1}{2a} <b \sqrt{2}<a }\) co daje \(\displaystyle{ a^2-1+ \frac{1}{4a^2}<2b^2<a^2 }\), a to sprzeczność bo pomiędzy \(\displaystyle{ a^2-1}\) oraz \(\displaystyle{ a^2}\) nie ma liczb całkowitych.

Ok, ale chyba jak nie wprost to trzeba założyć, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}- \frac{1}{2ab} \le \sqrt{2} }\). To chyba wiele nie zmienia bo mamy \(\displaystyle{ a- \frac{1}{2a} \le b \sqrt{2}<a }\) i teraz jak się podniesie do kwadratu to mamy
\(\displaystyle{ a^2-1+ \frac{1}{4a^2} \le 2b^2<a^2 }\), ale \(\displaystyle{ a^2-1<a^2-1+ \frac{1}{4a^2} \le 2b^2<a^2 }\), więc de fakto otrzymujemy tą samą sprzeczność, w sensie \(\displaystyle{ a^2-1<2b^2<a^2}\). Zgadza się?