Niecałkowity iloraz

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Niecałkowity iloraz

Post autor: mol_ksiazkowy »

Niech \(\displaystyle{ x, y }\) będą różnymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x^2+4xy+y^2}{x^3-y^3} }\) nie jest liczbą całkowitą.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: Niecałkowity iloraz

Post autor: bosa_Nike »

Przypuśćmy wbrew tezie, że \(\frac{x^2+4xy+y^2}{x^3-y^3}=k\in\mathbb{Z}\), tzn. że \(\frac{x^2+xy+y^2+3xy}{x^2+xy+y^2}=k(x-y)\in\mathbb{Z}\), czyli że \(\frac{3xy}{x^2+xy+y^2}=k(x-y)-1\in\mathbb{Z}\). To jest sprzeczność, bo z założeń wynika \(0<\frac{3xy}{(x-y)^2+3xy}<1\).
ODPOWIEDZ